午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
pが素数のとき、
p4 + 14が素数でないことを示せ。
シンキングタ～イム
こういう問題は、とりあえず手を動かして試してみることです。
24 + 14 = 16 + 14 = 30 = 2 * 3 * 5
34 + 14 = 81 + 14 = 95 = 5 * 19
54 + 14 = 625 + 14 = 639 = 32 * 7 * 11
74 + 14 = 2401 + 14 = 2415 = 3 * 5 * 7 * 23
…
どうやら、p＝3以外の場合は3で割り切れそうです。
というわけで、mod 3を試してみましょう。
| n | 0 | 1 | 2 |
| n2 | 0 | 1 | 1 |
mod 3ですから、可能性は0、1、2の3種類です。
2乗すると、0か1の2種類に限定されます。
4乗も同様ですね。
p＝3のとき、
34 + 14 = 81 + 14 = 95 = 5 * 19
より、
p4 + 14は素数ではない。
p≠3のとき、
mod 3を取ると、
p4 + 14 = (p2)2 + 14 ≡ 12 + 14 ≡ 0 (mod 3)
かつ、
p4 + 14 > 3
より、
p4 + 14は素数ではない。
Q.E.D.
ではでは
knifeのmy Pick