ウラムの螺線とは、コンピュータが出来たばかりのころ、0を含む自然数を規則的に並べて、素数や合成数を色分けしたものを、遠くから眺めてみてみると、新たな発見があるというものです。
まず、タイトルのウラムの螺旋からも解るとおり、規則的に並べるというのは、螺旋状に規則的に並べるということ。
まずは、正方形を正方形になるように螺旋状に並べます。
0と1は素数でも合成数でもないので赤、素数はオレンジ、合成数は約数の数によって、約数の数が少なければ青、多くなればシアンになるようにグラデーションしています。
0から1へは、3時の方向へ進み、そこから時計回りに、四角形を描くように螺旋状に回り込むようにしました。
では、これを続けたものを、遠くから眺めてみましょう。
素数が、斜めの格子状に並んで居るように見えて来ますよね。
素数には規則性がないと言われているが、この図を見ると規則はありそうな感じも受けますね。
例えば、
0から見て、左斜め下に向かって偶数の平方数が、
1絡みて、右斜め上に向かって奇数の平方数が、
現れます。
偶数の平方数+1は、素数になりやすく、
偶数の平方数-1は、3以外は素数にならない、
ように見えるかと思います。
続いて、六角形を三角形になるように螺旋状に並べる。
0から1へは、1時の方向へ進み、そこから時計回りに、三角形を描くように螺旋状に回り込むようにしました。
これを遠くから眺めてみると、
全体を埋めてもよかったが、三角形であることが解るところまでで止めました。
Y字型に素数のオレンジが見えるかと思います。
最後に、六角形を六角形になるように螺旋状に並べる。
0から1へは、3時の方向へ進み、そこから時計回りに六角形を描くように、螺旋状に回り込むようにしました。
これを遠くから眺めてみると、
画面全体を埋めてもよかったのですが、六角形であることが解るところまでで止めました。
それでも、0から12480までを表示しています。
これもまた、素数や合成数の配置が、規則があるかのように見えるかと思います。
これも、6n-1型素数と、6n+1型素数と考えると、6という数字±1が関係しているのか、六角形と親和性が高いことによるものだと思われます。
数字の羅列だけを眺めていても解らなかった規則性が、
特定の規則に則って並べると、
明らかに素数が少ない列、素数が多い列、というのが目視で解る。
さて、これらの画像は、HTML5+Javascriptで描きました。
8000x8000ピクセルに、大きく描いて、画像として保存。
中心部分の600x600をトリミングした画像と、600x600ピクセルに縮小した画像を、ファイルサイズも小さくなったものをアップしています。
プログラミングで、上記の画像を三角関数を使って座標計算をしっかりやって描けるならば、挑戦してみるのも良いかと思います。
ではでは
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ウラムの螺旋
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