正方形の頂点からある点の距離より面積を求める

午後のひとときに、数学の問題の解き方について考えてみよう。



問題
正方形ABCDがあり、その内側にある点Pが存在する。
a=AP、b=BP、c=CPのとき、正方形ABCDの面積をa、b、cで表わせ。


シンキングタ～イム


解法1
代数的に解いてみる。
正方形ABCDの1辺の長さをx
α=∠PBA
として、余弦定理より、
三角形ABPに着目すると、
a²=b²+x²-2bx*cos(α)
cos(α)=(a²-b²-x²)/(2bx) … (1)
三角形PBCに着目すると、
c²=b²+x²-2bx*cos(π/4-α)
c²=b²+x²-2bx*sin(α)
sin(α)=(c²-b²-x²)/(2bx) … (2)
(1)、(2)、sin²(θ)+cos²(θ)=1より、
((a²-b²-x²)/(2bx))²+((c²-b²-x²)/(2bx))²=1
(a²-b²-x²)²+(c²-b²-x²)²=(2bx)²
t=b²+x²とおくと、
(a²-t)²+(c²-t)²=(2bx)²
a⁴-2a²t+t²+c⁴-2c²t+t²=4b²x²
2t²-2(a²+c²)t+a⁴+c⁴-4b²x²=0
戻して、
2(b²+x²)²-2(a²+c²)(b²+x²)+a⁴+c⁴-4b²x²=0
2b⁴+4b²x²+2x⁴-2a²b²-2a²x²-2b²c²-2c²x²+a⁴+c⁴-4b²x²=0
2x⁴-2(a²+c²)x²+a⁴+2b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²=0
S=x²を求めたいので、
2S²-2(a²+c²)S+a⁴+2b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²=0
として、解の公式に代入すると、
S=(2(a²+c²)±√4(a²+c²)²-8(a⁴+2b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²))/4
=(a²+c²±√(a²+c²)²-2(a⁴+2b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²))/2
=(a²+c²±√(a⁴+2a²c²+c⁴)-2(a⁴+2b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²))/2
=(a²+c²±√a⁴+2a²c²+c⁴-2a⁴-4b⁴-2c⁴+4a²b²+4b²c²)/2
=(a²+c²±√-a⁴-4b⁴-c⁴+4a²b²+2a²c²+4b²c²)/2

これ以上簡略化出来るか、ちょっと不安なのでこの辺で留めておく。
おそらく、±の-は取れるんだろうけどね。


解法2


⊿ABPを点Aで反時計回りに90度回転し、点Bと点Dが重なり、新たな点PをQとする。
⊿CBPを点Cで時計回りに回転し、点Bと点Dが重なり、新たな点PをRとする。
∠ABP+∠CBP=90˚なので、∠ADQ+∠CDR+∠ADC=90˚+90˚=180˚となり、
QDRは同一直線上の点となる。
よって、正方形ABCDの面積は、五角形APCRQの面積と等しい。
PQの長さは、直角二等辺三角形APFの斜辺で、
PQ=√2a
PRの長さは、直角二等辺三角形CPGの斜辺で、
PR=√2c
QRの長さは、
QR=2b
これらを踏まえると、
直角二等辺三角形APQの面積はa²/2
直角二等辺三角形CPRの面積はc²/2
三角形PFGの面積をヘロンの公式に当てはめると、
S=a²/2+c²/2+√(2b+√2a+√2c)(-2b+√2a+√2c)(2b-√2a+√2c)(2b+√2a-√2c)/4
=a²/2+c²/2+√((√2a+√2c)²-4b²)(4b²-(√2a-√2c)²)/4
=a²/2+c²/2+√((2a²+4ac+2c²)-4b²)(4b²-(2a²-4ac+2c²))/4
=a²/2+c²/2+√((a²+2ac+c²)-2b²)(2b²-(a²-2ac+c²))/2
=(a²+c²+√((a²+2ac+c²)-2b²)(2b²-(a²-2ac+c²)))/2

こちらも、この辺で留めておく。
おそらく、括弧を外すと、解法1の形になるんでしょう。


どっちで導いてもよいのだが、変数のままでは計算が限られてしまう。
数値の問題であれば、どちらで導いても同じ結果になるだろう。


さて、この問題、正方形ABCDの内部に点Pを取ったが、別に内部に限定する必要もないのではと考える。

例えば、点Aを中心に半径aの円、点Cを中心に半径cの円を描く。
この2円の交点の個数に着目すると、
点Pを設定出来ているという時点で、交点の数は2つないし1つは存在する。
どこに交点が現れるかは、a、cの長さに依存し、たまたま正方形ABCDの内部に出来ることもあれば、外部に出来ることもある。
ということに過ぎない。
また、交点の数が2つあったとしても、bの長さが決まっているため、直線ACの上側に存在するのか、下側に存在するのか、はたまた直線AC上に存在するのか、の違いである。

解法は、これだけに留まらず、値によってはもっと革新的な解法があるやもしれません。


ではでは