x²+y²=61ⁿを満たすx,yを求めよ -その2-

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。

数学問題
以下の問題の自然数x、yをすべて求めよ。
但し、x<yとする。
(1) x²+y²=61
(2) x²+y²=61²
(3) x²+y²=61³
(4) x²+y²=61⁴
(5) x²+y²=61⁵

プログラミング問題
数学問題を踏まえて、
x²+y²=61ⁿ
0<n<11
を効率よくx, yをみつけるプログラムを作れ。

ということでした。

前回、5ずつインクリメントするプログラムを書きましたが、
 

実は、もう少しだけ効率のよいプログラムが書けます。
どこをどうすれば良いでしょうか。

ということでした。

前回書いたプログラムは5ずつインクリメントしましたが、
解をみると、どちらか1方は必ず6の倍数です。
ということは、6ずつインクリメントさせても解は求まるということです。

5と6の違いですが、6の方が効率が良いことがわかります。


手計算で、n=1から3までは求めましたよね。

5²+6²=61¹ …(1)
11²+60²=61² …(2)
n=1、2は1式ずつ見つかりました。

n=3は、
(1)式と(2)式の積から、
(5²+6²)(11²+60²)=61³
(1)式は残し、(2)式は右辺を使って、
(5²+6²)61²=61³
(5･61)²+(6･61)²=61³
305²+366²=61³ …(3)
でn=3の一つを求めることが容易に出来ます。
ということは、
415²+234²=61³ …(4)
を求める方法を考えれば良いとも言えます。

n=4は、
(2)式を使って、
(11²+60²)(11²+60²)=61⁴
(11²+60²)61²=61⁴
(11･61)²+(60･61)²=61⁴
671²+3660²=61⁴ …(5)
でn=4の一つを容易に求められる。
もう一つの解も、(2)式のx、yを使って、
(60²-11²)²+(2・60・11)²=(60²+11²)²
3479²+1320²=61⁴ …(6)
と求められる。

n=5は、
(3)式と(4)式に、(2)式を掛けたものを考え、
(305²+366²)61²=61⁵
18605²+22326²=61⁵ …(7)
(415²+234²)61²=61⁵
25315²+14274²=61⁵ …(8)
と容易に求まる。
ということは、
9475²+27474²=61⁵ …(9)
を求める方法を考えれば良いとも言えます。

n=6は、
(5)式と(6)式に、(2)式を掛けたものを考え、
(671²+3660²)61²=61⁶
40931²+223260²=61⁶ …(10)
(3479²+1320²)61²=61⁶
212219²+80520²=61⁶ …(11)
残りの一つは(4)式のx、yを使って、
(415²-234²)²+(2･415･234)²=(415²+234²)²
117469²+194220²=61⁶ …(13)
と求まる。


ここまでで解ることは、
(4)式と(9)式を求める方法が確立されていないこと。
n=偶数のときは、過去のデータから立式して解が求まるが、
n=奇数のときは、過去のデータから立式することが出来ていない。
逆に言えば、未来のデータから立式して過去の解を求めるということが出来るとも言える。

n>3のx、yは双方とも61の倍数である。
そう考えると、プログラミングは、61のインクリメントで良いという考えも出来る。

また、(4)式や(9)式は、x、yが有理数、つまり有理数解の過去の式があって、それが表に出てきたということなのかもしれません。

とりあえず、今回はこの辺で。


ではでは