2ᵃ=3ᵇ=6のaとbの関係式

 

シンキングターイム


あえて計算を端折らずに、一つ一つ進めてみます。

2^a=3^b=6

2^a=6に着目すると、
両辺のlog₂を取る
log₂2^a=log₂6
a･log₂2=log₂6
a･1=log₂6
a=log₂6
a=log₂(2･3)
a=log₂2+log₂3
a=1+log₂3
a-1=log₂3 …(1)

3^b=6に着目すると、
両辺のlog₃を取る
log₃3^b=log₃6
b･log₃3=log₃6
b･1=log₃6
b=log₃6
b=log₃(2･3)
b=log₃2+log₃3
b=log₃2+1
b-1=log₃2 …(2)

(1)式と(2)式を掛けると、
(a-1)(b-1)=(log₂3)(log₃2)

ab-a-b+1=(log₂3)(log₃2)
ab-a-b+1=((log_x3)/(log_x2))((log_x2)/(log_x3))
ab-a-b+1=1
ab=a+b

となりました。
赤文字で示したところは、大抵省略されがちです。


logの様々な性質が使われていますね。

おさらいしておきましょう。

性質1. logの底と真数が等しいならば、1
log_aa=1

性質2. logの底と真数から、0より大きく1以外の適当な底の分数の形に
log_ab=(log_xb)/(log_xa)

性質3. logの真数が冪で表せるならば、指数を外に出して積の形に
log_a(b^c)=c･log_ab

性質4. logの真数が積で表せるならば、和の形に
log_a(b･c)=log_ab+log_ac

性質5. logの真数が商で表せるならば、差の形に
log_a(b/c)=log_ab-log_ac

これだけ覚えておけば、あとはどう変化させていけば、簡単になっていくのかを考えればよい。

慣れるまでは丁寧に変換していくのが良いと思う。
慣れたら、ある程度一気に行っても良いと思う。

頭の良い人たちの動画は、端折ることに力を注ぎすぎていて、視聴者置いてけぼりだったりする。
数学でも行間を読めということなのかもしれないけど、もっと丁寧に教える動画があっても良いと思う。

試験とかだと一分一秒を無駄に出来ないから、早解きするんだろうけど、間違えたら本末転倒だろう。


ではでは