三角形の面積をS、内接円の半径をr、三角形の辺の長さをa、b、cとすると、
r=2S/(a+b+c)
これが内接円の公式です。
この前示したのは、
r=√xyz/(x+y+z)
でしたね。
x、y、zは、三角形の各辺を内接円との接点で分割したものですので、
x+y=a
y+z=b
z+x=c
と置き換えることが可能です。
どちらもr=の式なので、おそらくは前者から後者を導いたのだと考えます。
2Sが邪魔ですので、面積を取り除いてしまいましょうか。
三角形の三辺の長さから面積を求める公式、ヘロンの公式です。
ヘロンの公式にはいくつかパターンがありますが、一般的なのを2つ紹介します。
s=(a+b+c)/2
とおくと、
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
もう一つは純粋に三辺の長さ、a、b、cから、
S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4
まぁ、両方覚えておくと良いかと思います。
今回は後者のほうを使ってみます。
a=x+y
b=y+z
c=z+x
とすると、
S=√(2x+2y+2z)(2x)(2y)(2z)/4
=√(x+y+z)xyz
内接円の公式も、a、b、cをx、y、zに置き換えて、
r=2S/(a+b+c)=2S/(2x+2y+2z)=S/(x+y+z)
に代入すると、
r=√(x+y+z)xyz/(x+y+z)
分母分子に√x+y+zを掛けると、
r=√xyz/(x+y+z)
となります。
x、y、z、rのいずれか3つが解れば、残りの1つが求まります。
面積を取り除いたので、使い勝手が良いかと思います。
また、x、y、z、rより面積を求めるには、
r=S/(x+y+z)
より、
S=r(x+y+z)
となります。
これは、図を掛けばすんなり理解出来るかと思います。
x、y、zはそれぞれrと直交していますので、
x、y、zを底辺とし、高さがrの直角三角形が6個あるということになります。
ではでは
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内接円の公式から面積を取り除く
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