午後のひとときに数学の問題を解くよ。
問題
三角形ABCに内接する円がある。
内接円の中心をO、
辺ABの間にある接点をPとすると、
AP=4、BP=5、OP=2のとき、
三角形ABCの面積を求めよ。
シンキングターイム
解答1
∠Aをα、∠Bをβ、∠C=γとすると、
tan(α)=2/4=1/2
tan(2α)=1/(1-1/4)=4/3
tan(β)=2/5
tan(2β)=(4/5)/(1-4/25)=(4/5)/(21/25)=20/21
tan(γ)=2/x
tan(2γ)=(4/x)/(1-4/x^2)=4x/(x^2-4)
2γ=π-2α-2βなので、
tanの加法定理で、
tan(2α+2β)=(4/3+20/21)/(1-(4/3)*(20/21))
=(48/21)/(1-(80/63))
=(48/21)/((63-80)/63)
=-144/17
tan(π-(2α+2β))=4x/(x^2-4)
=(0+144/17)/(1+0)=144/17
4x/(x^2-4)=144/17
68x=144(x^2-4)
144x^2-68x-576=0
36x^2-17x-144=0
x=(17±√(17^2+4*36*144))/72
=(17±√(289+20736))/72
=(17±√(21025))/72
x>0なので、
x=(17+145)/72
=162/72
=9/4
面積は、
(5+4+9/4)×2=45/2
これが、所見の解法でした。
これって、かなり面倒な計算だし、三角関数を解っていないとできないですね。
解答2
AP=y、BP=z、OP=rとすると、
内接円の半径を求める式、
r=√xyz/(x+y+z)
より、
2=√20ｘ/(x+9)
4=20x/(x+9)
4(x+9)=20x
x+9=5x
x=9/4
面積は、
(5+4+9/4)×2=45/2
随分と簡単に求まります。
解答1はtanを使いましたが、cosでもsinでもcotでも出来そうですね。
解答2は、角度を全く使っていませんので、楽に求まりましたね。
数学って、人の数だけ解法があると言っても過言ではありません。
また、何個も解法を思い浮かべ、その中でベストな解法、ベターな解法、
といったように、最低でも2つは検算も兼ねて思いつくことが望ましい。
おそらくは、解答2の式も、今までの知識から導くことも出来るんだろう。
それは別の記事にしましょうか。
ではでは