1から√nは容易に作図出来るが逆は出来るのか？

午後のひとときに、数学をやってみよう。

問題
線分として√nが与えられている。（nは自然数。）
定規とコンパスのみを有限回使用し、
1を作図せよ。

シンキングターイム

解答
√7から1を作図してみました。

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Clik here to view.

アニメGIFを作りましたので、解りやすいかな？

1) x軸を引く。
2) x軸上に原点を定める。
3) コンパスの中心を原点とし、√7をx軸上に取る。
4) y軸を垂直二等分線より作図する。
5) y軸に√7毎に、7√7まで目盛りを付ける。
6) y軸の√7を通るx軸と平行な直線を、垂直二等分線操作より描く。
7) (0,√7)を中心とし(√7,0)を通る円を描き、(√14,√7)を得る。
8) (0,0)を中心とし(√14,√7)を通る円を描き、(√21,0)を得る。
9) (0,√7)を中心とし(√21,0)を通る円を描き、(√28,√7)を得る。
10) (0,0)を中心とし(√28,√7)を通る円を描き、(√35,0)を得る。
11) (0,√7)を中心とし(√35,0)を通る円を描き、(√42,√7)を得る。
12) (0,0)を中心とし(√42,√7)を通る円を描き、(√49,0)=(7,0)を得る。
13) 長さ7の線分が出来ましたので、7等分するため、(0,7√7)と(7,0)を通る直線を引く。
14) 13の直線と平行な(0,√7)を通る直線を、垂直二等分線操作を繰り返し描く。
15) 14の直線とx軸が交わる点が(0,1)である。

√2、√3、√5に付いては、もっと簡単な方法があります。
√7以降も、上記方法で汎用的に1を求められます。
GIFアニメの7の部分をすべてnに置き換えて見てください。
nが偶数の場合、x軸上に垂線の足を下ろすか、y軸の目盛りをn+1個にして、1段上がったところで作業をすすめるほうが楽かな？


ではでは