たまには数学の記事を書かないとね。
なんか、気持ちが悪いのだが、まぁ、お付き合い下さい。
a=1-1+1-1+1-1+… (ア)
b=1-2+3-4+5-6+… (イ)
c=1+2+3+4+5+6+… (ウ)
という3つの級数があり、
2b=
(1-2+3-4+5-6+…)
+ (1-2+3-4+5-6+…)
= 1-1+1-1+1-1+…
=a
b-c=
(1-2+3-4+5-6+…)
- (1+2+3+4+5+6+…)
= -4 -8 -12-…
=-4(1+2+3+…)
=-4c
b-c=-4c
b=-3c
a=2b=-6c (エ)
//
この気持ち悪さってなんだろう。
(ア)は、偶数項までの和では0、奇数項までの和では1と、振動である。
(イ)は、2項ずつに区切れば-∞に発散するように見えるが、1とそれ以降を2項ずつに区切ると+∞に発散する。
(ウ)は+∞に発散
私の頭では、こんな感じで、いずれの級数の値も収束しない。
にも関わらず、それぞれの級数の値を関係式で表すことが出来た。
級数の値が収束するには、等比数列でかつ、比の絶対値が1未満である必要があった。
Σ{n=1, ∞} A[n] = A[1]/(1-r) (|r|<1)
|r|<1という制限を取っ払って、(ア)をこれに当てはめると、初項1、公比-1なので、a=1/2となる。
これを許していいのかわからないが、とりあえず許してしまおうか。
aが定まったので、(エ)式に代入すると、b=1/4、c=-1/12となる。
ζ(-1)=-1/12
つまり、こういうことなのかな？
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Σ{n=1, ∞}n=-1/12
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