午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
1から10まで書かれたカードが1枚ずつある。
そこから、2枚を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 一方が他方の2倍である確率を求めよ。
(2) 一方が他方の2倍より大きくなる確率を求めよ。
(3) 一方が他方の2倍より小さくなる確率を求めよ。
シンキングターイム
タイトル通り、私はまんまとミスリードされてしまいました。
私は、この導入問題をみて、直感的に
(1)(2)(3)を合わせると1だ、
(2)と(3)は同じことを言っているから同じ値だ、
(1)は1と2、2と4、3と6、4と8、5と10の組み合わせしかないから、
(2×5)/(10×9)=10/90=1/9
(2)と(3)は、(1-1/9)/2=(8/9)/2=4/9
だと考えてしまいました。
実は、(1)、(2)は合っているが、(3)は間違っている。
検算してみましょう。
検算ですから、同じ手法でやっても意味がないので、
泥臭いですが、数え上げましょう。
(1)
{ 1枚目 },{ 2枚目 } のように集合として考えて、
2枚目が1枚目の丁度2倍、または2枚目が1枚目の丁度半分であれば題意を満たしているので、
{ 1 },{ { 2 }∨{ } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
{ 2 },{ { 4 }∨{ } } ==> (1/10)×(2/9)=2/90
{ 3 },{ { 6 }∨{ } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
{ 4 },{ { 8 }∨{ 2 } } ==> (1/10)×(2/9)=2/90
{ 5 },{ { 10 }∨{ } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
{ 6 },{ { }∨{ 3 } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
{ 7 },{ { }∨{ } } ==> (1/10)×(0/9)=0/90
{ 8 },{ { }∨{ 4 } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
{ 9 },{ { }∨{ } } ==> (1/10)×(0/9)=0/90
{ 10 },{ { }∨{ 5 } } ==> (1/10)×(1/9)=1/90
となり、全部足して、
10/90=1/9
(2)を同様に考えると、
2枚目が1枚目の2倍より多いか、または半分より少なければよく、
{ 1 },{ { 3,4,5,6,7,8,9,10 }∨{ } } ==> (1/10)×(8/9)=8/90
{ 2 },{ { 5,6,7,8.9,10 }∨{ } } ==> (1/10)×(6/9)=6/90
{ 3 },{ { 7,8,9,10 }∨{ 1 } } ==> (1/10)×(5/9)=5/90
{ 4 },{ { 9,10 }∨{ 1 } } ==> (1/10)×(3/9)=3/90
{ 5 },{ { }∨{ 1,2 } } ==> (1/10)×(2/9)=2/90
{ 6 },{ { }∨{ 1,2 } } ==> (1/10)×(2/9)=2/90
{ 7 },{ { }∨{ 1,2,3 } } ==> (1/10)×(3/9)=3/90
{ 8 },{ { }∨{ 1,2,3 } } ==> (1/10)×(3/9)=3/90
{ 9 },{ { }∨{ 1,2,3,4 } } ==> (1/10)×(4/9)=4/90
{ 10 },{ { }∨{ 1,2,3,4 } } ==> (1/10)×(4/9)=4/90
となり、全部足して、
40/90=4/9
(3)は、
2枚目が1枚目の2倍より少ないか、または半分より多ければよく、
{ 1 },{ { }∨{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 2 },{ { 1,3 }∨{ 3,4,5,6,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 3 },{ { 1,2,4,5 }∨{ 2,4,5,6,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 4 },{ { 1,2,3,5,6,7 }∨{ 3,5,6,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 5 },{ { 1,2,3,4,6,7,8,9 }∨{ 3,4,6,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 6 },{ { 1,2,3,4,5,7,8,9,10 }∨{ 4,5,7,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 7 },{ { 1,2,3,4,5,6,8,9,10 }∨{ 4,5,6,8,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 8 },{ { 1,2,3,4,5,6,7,9,10 }∨{ 5,6,7,9,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 9 },{ { 1,2,3,4,5,6,7,8,10 }∨{ 5,6,7,8,10 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
{ 10 },{ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }∨{ 6,7,8,9 } } ==> (1/10)×(9/9)=9/90=1/10
となり、全部足して
10/10=1
まんまと引っかかってしまいました。
ではでは
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まんまとミスリードさせられた導入問題
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