やっと、昔の記事を改修できます。
1/3倍角を本気でやると、こうなるよって例です。
簡略化のため、1の3乗根を示すωを、
複素数平面において偏角が反時計回りに回転するので、
ω1 =
-1+√-3
2
2
ω2 =
-1-√-3
2
2
ω3 = ω0 = 1
のように固定して考えます。
| cos(0˚)= sin(90˚)= | +1 |
| cos(6˚)= cos(354˚)= sin(96˚)= sin(84˚)= | + ω3・∛√10+2√5+√-6+2√5+ω3・∛√10+2√5-√-6+2√5 ∛32 |
| cos(12˚)= cos(348˚)= sin(102˚)= sin(78˚)= | + ω3・∛1+√5+√-10+2√5+ω3・∛1+√5-√-10+2√5 ∛32 |
| cos(18˚)= cos(342˚)= sin(108˚)= sin(72˚)= | + √10+2√5 4 |
| cos(24˚)= cos(336˚)= sin(114˚)= sin(66˚)= | + ω3・∛-1+√5+√-10-2√5+ω3・∛-1+√5-√-10-2√5 ∛32 |
| cos(30˚)= cos(330˚)= sin(120˚)= sin(60˚)= | + √3 2 |
| cos(36˚)= cos(324˚)= sin(126˚)= sin(54˚)= | + 1+√5 2 |
| cos(42˚)= cos(318˚)= sin(132˚)= sin(48˚)= | + ω3・∛-√10-2√5+√-6-2√5+ω3・∛-√10-2√5-√-6-2√5 ∛32 |
| cos(48˚)= cos(312˚)= sin(138˚)= sin(42˚)= | + ω3・∛-1-√5+√-10+2√5+ω3・∛-1-√5-√-10+2√5 ∛32 |
| cos(54˚)= cos(306˚)= sin(144˚)= sin(36˚)= | + √10-2√5 4 |
| cos(60˚)= cos(300˚)= sin(150˚)= sin(30˚)= | + 1 2 |
| cos(66˚)= cos(294˚)= sin(156˚)= sin(24˚)= | + ω2・∛-√10+2√5+√-6+2√5+ω1・∛-√10+2√5-√-6+2√5 ∛32 |
| cos(72˚)= cos(288˚)= sin(162˚)= sin(18˚)= | + -1+√5 2 |
| cos(78˚)= cos(282˚)= sin(168˚)= sin(12˚)= | + ω2・∛-√10-2√5+√-6-2√5+ω1・∛-√10-2√5-√-6-2√5 ∛32 |
| cos(84˚)= cos(276˚)= sin(174˚)= sin(6˚)= | + ω2・∛1-√5+√-10-2√5+ω1・∛1-√5-√-10-2√5 ∛32 |
| cos(90˚)= cos(270˚) sin(180˚)= sin(0˚)= | ±0 |
| cos(96˚)= cos(264˚)= sin(186˚)= sin(354˚)= | - ω2・∛1-√5+√-10-2√5+ω1・∛1-√5-√-10-2√5 ∛32 |
| cos(102˚)= cos(258˚)= sin(192˚)= sin(348˚)= | - ω2・∛-√10-2√5+√-6-2√5+ω1・∛-√10-2√5-√-6-2√5 ∛32 |
| cos(108˚)= cos(252˚)= sin(198˚)= sin(342˚)= | - -1+√5 2 |
| cos(114˚)= cos(246˚)= sin(204˚)= sin(336˚)= | - ω2・∛-√10+2√5+√-6+2√5+ω1・∛-√10+2√5-√-6+2√5 ∛32 |
| cos(120˚)= cos(240˚)= sin(210˚)= sin(330˚)= | - 1 2 |
| cos(126˚)= cos(234˚)= sin(216˚)= sin(324˚)= | - √10-2√5 4 |
| cos(132˚)= cos(228˚)= sin(222˚)= sin(318˚)= | - ω3・∛-1-√5+√-10+2√5+ω3・∛-1-√5-√-10+2√5 ∛32 |
| cos(138˚)= cos(222˚)= sin(228˚)= sin(312˚)= | - ω3・∛-√10-2√5+√-6-2√5+ω3・∛-√10-2√5-√-6-2√5 ∛32 |
| cos(144˚)= cos(216˚)= sin(234˚)= sin(306˚)= | - 1+√5 2 |
| cos(150˚)= cos(210˚)= sin(240˚)= sin(300˚)= | - √3 2 |
| cos(156˚)= cos(204˚)= sin(246˚)= sin(294˚)= | - ω3・∛-1+√5+√-10-2√5+ω3・∛-1+√5-√-10-2√5 ∛32 |
| cos(162˚)= cos(198˚)= sin(252˚)= sin(288˚)= | - √10+2√5 4 |
| cos(168˚)= cos(192˚)= sin(258˚)= sin(282˚)= | - ω3・∛1+√5+√-10+2√5+ω3・∛1+√5-√-10+2√5 ∛32 |
| cos(174˚)= cos(186˚)= sin(264˚)= sin(276˚)= | - ω3・∛√10+2√5+√-6+2√5+ω3・∛√10+2√5-√-6+2√5 ∛32 |
| cos(180˚)= sin(270˚)= | -1 |
この表に至るまでの簡単な経緯
3倍角の公式
sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin3(θ)
cos(3θ) = 4cos3(θ) - 3cos(θ)
チェビシェフの多項式
T3(x) = 4x3 - 3x
どちらでも良いのですが、
例えば、
cos(3θ) = cos(60˚) = 1/2
cos(θ) = cos(20˚) = x
とすると、
1/2 = 4x3 - 3x
4x3 - 3x - 1/2 = 0
8x3 - 6x - 1 = 0
このxが求まればよいのだが、高校生レベルでも2次方程式の解の公式までであろう。
3次方程式の解を求めるのにはカルダノの解法を使う。
解法であって、公式ではないのが、簡単に数値を入れれば答えがでるという類のものではないということです。
ましてや cos(60˚) = 1/2 のような簡単な式でもありません。
同様にチェビシェフの多項式から3次方程式を作り、カルダノの解法で、
cos(3θ) = cos(18˚) ==> cos(θ) = cos(6˚)
cos(3θ) = cos(36˚) ==> cos(θ) = cos(12˚)
cos(3θ) = cos(72˚) ==> cos(θ) = cos(24˚)
…
とやっていくことで、6度系がすべて埋まります。
さて、5度系と6度系が出来ると何が出来るかというと、
cos(6˚-5˚) のように加法定理を使えば cos(1˚) が求まります。
やりますか？
さすがに私でもやる気が起きませんｗ
ではでは