x²-yz=1, y²-zx=4, z²-xy=9

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。

問題
x²-yz=1 …(1)
y²-zx=4 …(2)
z²-xy=9 …(3)
x, y, zの値を求めよ。


シンキングターイム


こういう堂々巡りする連立方程式ってどうやって解けばいいんだろう。

例えば、
x^2-yz=1 → x^2-1=yz → (x+1)(x-1)=yz
y^2-xz=4 → y^2-4=xz → (y+2)(y-2)=xz
z^2-xy=9 → z^2-9=xy → (z+3)(z-3)=xy
のように移項して、なんとなくきれいな因数分解の形になったこれらを、
全部を掛けて
(x+1)(x-1)(y+2)(y-2)(z+3)(z-3)=(xyz)²
xyz=±√(x+1)(x-1)(y+2)(y-2)(z+3)(z-3)
としてみたりしたが、どうにもピンと来ない。

登場する項が全て出てくるような因数分解があるのではなかろうかと思い返してみると、
(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=x³+y³+z³-3xyz
全部の式を足したとすると、
x²+y²+z²-xy-yz-zx=1+4+9=14
なので、
14(x+y+z)=x³+y³+z³-3xyz
これもピンと来ない。

しょうがないので、
x²-yz=1
x²=yz+1
x=±√yz+1
これら他の式に代入して
y²-z√yz+1=4
z√yz+1=y²-4
z²(yz+1)=y⁴-8y²+16
yz³+z²=y⁴-8y²+16
y⁴-8y²-(z³)y+(16-z²)=0
と4次方程式になって、これもピンと来ない。


はて、どうすればいいんだろうか。
随分と数学的な勘が鈍ってきている。

右辺の大きなものから、それより小さかなものを引いてみる。

(2)-(1)=
y²-x²-zx+zx=4-1=3
(y-x)(x+y+z)=3
これは行けそうな気がする。

(3)-(2)=
z²-y²-xy+zx=9-4=5
(z-y)(x+y+z)=5

(3)-(1)=
z²-x²-xy+zy=9-1=8
(z-x)(x+y+z)=8

全てに共通の(x+y+z)が出てきたので、
(y-x)(x+y+z)=3 → (x+y+z)=3/(y-x) …(4)
(z-y)(x+y+z)=5 → (x+y+z)=5/(z-y) …(5)
(z-x)(x+y+z)=8 → (x+y+z)=8/(z-x) …(6)

(4)～(6)式のうちのどの2式を使っても結果は同じになるが、
(4)の右辺=(5)の右辺でやってみる。
3/(y-x)=5/(z-y)
3(z-y)=5(y-x)
3z-3y=5y-5x
8y=5x+3z …(7)

(7)式を(1)式や(3)式に代入するのだが、
(1)式や(3)式の右辺を等しくしたく、
yの係数に8が欲しいことを考慮し、
両辺を72倍した(1)式、両辺を8倍した(3)式に、(7)式を代入する、
(1) → x²-yz=1 → 72x²-72yz=72 → 72x²-9z(5x+3z)=72 → 72x²-45xz-27z²=72
(3) → z²-xy=9 → 8z²-8xy=72 → 8z²-x(5x+3z)=72 → 8z²-3xz-5x²=72
引き算すると、
77x²-42xz-35z²=0
11x²-6xz-5z²=0
(x-z)(11x+5z)=0
こうなれば、
(x-z)=0か、(11x+5z)=0か、そのどちらも0
のいずれかである。
x=z, x=-5z/11
これらを(7)式に代入する。

x=zのとき、
8y=5z+3z → x=y=z
(1)～(3)式のいずれに当てはめても、左辺が0、右辺がnot 0となるので矛盾。
よって、x≠z

x=-5z/11のとき、
8y=-25z/11+3z=8z/11
y=z/11
(3)式に、これらを代入すると、
z²-(-5z/11)(z/11)=9
z²+5z²/11²=9
(5+11²)z²=9×11²
z²=9×11²/126
z=±33/√126=±11/√14
x=∓5/√14
y=±1/√14
分母の有利化をして、
(x, y, z)=(∓5√14/14, ±√14/14, ±11√14/14)
複合同順


ではでは