東京女子医大 2015

久々に、午後のひとときに数学の問題を解いてみます。

問題

2⁴⁰+1=mn (1<m<n)を満たす整数の組(m, n)が1組だけあることがわかっている。
このとき、mの値を求めよ。


シンキングターイム


2⁴⁰、かなり大きな整数ですね。
どうやって解くのが得策なのだろうか。

一般的な話しとして、
x^z-y^z
x^z+y^z
のような形の因数分解の出題は多いかと思う。

x^z-y^z の場合
z=2のとき、x²-y²=(x-y)(x+y)
z=3のとき、x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
z=4のとき、x⁴-y⁴=(x-y)(x³+x²y+xy²+y³)
z=5のとき、x⁵-y⁵=(x-y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)
z=6のとき、x⁶-y⁶=(x-y)(x⁵+x⁴y+x³y²+x²y³+xy⁴+y⁵)
z=7のとき、x⁷-y⁷=(x-y)(x⁶+x⁵y+x⁴y²+x³y³+x²y⁴+xy⁵+y⁶)
...
z=kのとき、x^z-y^z=(x-y)Σ[k=0 to k=z] x^n-ky^k

のように、機械的に記述することが可能である。
差の公式より、nが奇数のとき、ｙを-yと置き換えることで、和の公式を作ることが出来る。

x^z+y^z かつzが奇数の場合

z=3のとき、x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
z=5のとき、x⁵+y⁵=(x+y)(x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴)
z=7のとき、x⁷+y⁷=(x+y)(x⁶-x⁵y+x⁴y²-x³y³+x²y⁴-xy⁵+y⁶)
...
z=2k+1のとき、(x+y)((Σ[k=0 to (z-1)/2] x^z-2ky^2k-x^z-2k-1y^2k+1)+y^z)
無理やりΣの形にしてみたが、暗記しておく必要はないだろう。
要領よく覚えるとしたら、yが奇数乗のとき、符号が-になるだけですね。

さて、2⁴⁰+1=mn は和だが、累乗の指数が40と偶数である。
40を偶数と奇数の積にわければよい。

40=2×2×2×5=8×5 のただ一通りですから、
2⁴⁰+1=mn
2^8×5+1=(2⁸)⁵+1⁵=mn
x=2⁸ とすると、
x⁵+1=(x+1)(x⁴-x³+x²-x+1)

今回は、m、nの小さい方のmだけを求めれば良いので、
m=x+1=2⁸+1=256+1=257

答え、m=257

蛇足ですが、
mn=1099511627777
n=4278255361


ではでは