(1+√2)^3456

唐突ですが、1、2、3、4、5、6と順番に並んだ数式

(1+√2)³⁴⁵⁶

どんな数だと思いますか？

(1+√2) > 1
なのは明白で、
3456乗なので、かなり大きな数だという認識は出来るでしょう。

Windows付属の電卓で計算すると、
7.4605101859317645927553133881329e+1322
のような結果。

手計算でやるとしても、logを取って、
log₁₀(1+√2)³⁴⁵⁶
=3456*log₁₀(1+√2)
≈3456*0.38277568533786307831939952419201
≈1322.8727685276547986718447556076
のように桁数を求めたりも出来なくもない。

実は、これだけでは見えてこないものがある。
多倍長演算をして計算してみると、

整数部は、
74605101859317645927553
13388132854551189644894186667159118711214453248146
83678271366736780463774921206553886762573180751708
41061733780849614297081354199015417848130443663300
96253131216362817580779976163971200720476390719028
43298122311619293238811027812965210525521965470116
26030400889846588887467866443592704417892733012718
10955609214077555612875474109278005611052425365666
04179950613637902442587163556247389778615815710504
37891502869279812408874774428428761311777837593284
91688661237566735143755438987589132082862752278404
80739238212926060162973502410111740986878270296036
08081265726844528380261259883227774590748031852035
67252410135560350660844544495774101897824865494697
50926312039288449832841586853200425071711727537273
44594731779724019048894840315539438479454611130513
17385126057944183535905788501069854757398266321959
71992980922304352057257859576521041086725327790315
57874871728125906013962755436126958983630453077705
98662157907750018116731535659520567270049556620750
02498524071751221969954419254945601313475656152963
23533869452484254852813116790023815823194251756421
25468553366189799218577638079091801878800988260055
11362097722054623597561490030808461723096092412391
43230762764979960080493724923125613399853720551979
47925141188231314631745276514250299979192431808550
46082661853778307217316421797590736398496701644801
の1323桁

小数点以下は、
.
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999
と1322桁9が連なり、その後は、
8659609094984290110682945053
10694779556327357385191890690025083597915805648056
31753893287884320974921975763230767490518316040015
24228726861222441943436397078145866760464640451851
91099052059069920286673218102780496373694012236102
17155890049883501305569222794148191495164737883004
17784055123332953798803397066065928555339653927535
59822334725171306584154347601058765549074266079025
44350135459568708550870597829426932418426244834632
57853958802055525930894231965106217661308703374434
64488802390233890038709096665745295440695473434148
31499477700436731381052521181594288693787178499202
20148716458550444573362764704441477215857831181497
32297040786481679927754759894766054490092065544516
99875410637829591720989023352035777679550172841040
73361854985363101351257151814106434678985607634812
07186495809911142975211908022063594747446036760222
63111373743275158484954496112155047513386061748346
60213670188721544713268746005400979245492952403326
36956961447616964293658879641572332486011216182454
05976041319912384992337917307065016703632950283144
...
無限に計算されていく。

数学を長くやっていると、
(1+√2)³⁴⁵⁶
が無理数であることは直感的に解る。

しかし、小数点以下に、これだけ9が連なると、計算誤差なのではないだろうかという錯覚に陥る。

小数部を1322桁以下に設定して出力したならば、プログラム的に99999…が丸め誤差っで1.00000…と判断されてしまうこともあるだろう。

こういう面白い性質を持った数というのは沢山あるんだろうけど、どうやって見つけるんだろうね。


ではでは