(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n part5

昨日書いた記事のプログラムが出力した x≦y≦z＜10万 のデータです。

z＜10万で211組の(n, x, y, z)がみつかりました。
zが10万以上のものは、それまでの出力で片割れが出てないものを計算してリストに加えてあります。
決してz＜1000万まで検索したわけではありません。

リストはプログラムの出力順と同じ、z, x, yの順で昇順にソートしてあります。

というわけで、対にしてnでソートしてみます。

対にして、135対となりました。

これらのデータをもとに、新たにプログラムの改善を図るわけです。

先の記事に書いた、x, zからnのレンジを求めて、x, z, nからyを求めるという方法が速い理由も、これらのデータを解析すると解るかと思います。

n=11, x=8177, y=8874, z=22243を例にしてみます。

z=22243、x=8177、というところで、他の2つを求める。

ｙ、nの順番で調べると、
x≦y≦zという条件にしているので、そのレンジでyを調べると、z-x+1=14067ループ。
698ループ目で見つかりました。

n、yの順番で調べると、
⌈(x+z+sqrt(xz))(1/x+1/z+1/sqrt(xz))⌉≦n≦⌊(2x+z)(x+2z)/xz⌋ → 11≦n≦11というレンジになり、1ループ。
1ループ目で見つかりました。

これは見つかった例ですが、見つからなければ全てのループを回してしまいます。

では、見つからない例で考えます。
z=99999, x=1のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=99999ループ。
n、yの順番で調べると、100635≦n≦200003で、99369ループ。

あまり大差はない。
では、xが増えていくとどうなるか。

z=99999、x=2のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=99998ループ。
n、yの順番で調べると、50450≦n≦100004で、49555ループ。

z=99999、x=3のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=99997ループ。
n、yの順番で調べると、33702≦n≦66671で、32970ループ。

z=99999、x=4のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=99996ループ。
n、yの順番で調べると、25319≦n≦50004で、24686ループ。

z=99999、x=5のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=99995ループ。
n、yの順番で調べると、20286≦n≦40004で、19719ループ。

…

z=99999、x=20872のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=79128ループ。
n、yの順番で調べると、12≦n≦12で、1ループ。

…

z=99999、x=31387のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=68615ループ。
n、yの順番で調べると、12≦n≦12で、1ループ。

z=99999、x=31386のとき、
ｙ、nの順番で調べると、z-x+1=68614ループ。
n、yの順番で調べると、12≦n≦11で、0ループ。

…

それぞれのループ数を合計すると、
ｙ、nの順番で調べると、4999950000ループ
n、yの順番で調べると、924936ループ

ループの中での処理にもよるが、10万までで211組しか見つからないわけで、体感で100倍は速いと書いたが、100倍どころか5000倍以上速いわけです。

それでも、10万まで探すのにボロパソコンで丸一日掛かったので、100万まで求めるとしたらと考えるならば、何らかの枝刈りを施さなければならないだろう。

それよりも怖いのは、x≦y≦zという条件下で、xとzを定めると、nはユニーク（一意）になるという仮説で話しを進めてしまっていることだ。
さらに言えば、x、z、nを定めると、yはあっても1組になるというのも仮説です。
最新のプログラムはyが1組ないし片割れが見つかると、nのループをブレイクするようにしている。
これによるデータ抜けがあったとしたら怖いな。

今回のデータが不完全だったとしても、また新たな仮説が立てられそうです。
例えば、(x, y, z)=(1, 1, 1)以外では、z/x＞0.5となるものは見つかってない。
更に、(x, y, z)={(1, 1, 2), (1, 2, 2)}がz/x=0.5で、これも除けば、z/x≧0.5は見つかっていないとも言える。
序盤のいくつかを除けば、z/xはもっと小さいのである。
つまり、xのループを半分以下に減らせるということ。
これが、n、yの順で求める方法でも施せる大きな枝刈りになりそうだということ。


ではでは