東工大 2011

午後のひとときに、数学の問題を解いてみよう。

問題

n!がn²の倍数になるような自然数nをすべて求めよ。

シンキングターイム

自然数nにおける、n!とは何か
n! = n*(n-1)*(n-2)*…3*2*1
のように、n以下の自然数の積である。

つまり、n!において、nは1度しか現れない。
ということで、nは素数ではないことが明白。
故に条件をみたすnは合成数となります。

では、どのような合成数なら成り立つのだろうか。
4! = 4*3*2*1 = 24 成り立たない
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 成り立つ
8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320 成り立つ
9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880 成り立つ
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800 成り立つ
…
どうやら、nが合成数において、n≥6で成り立っているようである。

さて、このことをどの様に証明するのが良いのだろうか。

題意において、
n! ≥ n²
は常に成り立つので、
n!/n²=(n-1)!/n
が整数となるnを考える。

n=1のとき、0!=1なので、適合。

nが素数のとき、n-1以下に素数nは含まれないので、不適。

nが合成数のとき、
n=pq、p≥q>1、p, q∈N

p=q かつ
p>2のとき、n=p²≥3p>2p>p となり、pと2pはn-1以下の自然数であり適合。
p=2のとき、先の2pのような自然数は存在しないので不適。

p>qのとき、n=pq>p>q となり、qとpはn-1以下の自然数であり適合。

これらより、
nは1と、素数と4を除く自然数。


ではでは