演算の優先順位

よく、小学生のころに、掛け算は足し算よりも先に計算するとか、そういう話題になったかと思います。

今回の記事は、そういうお話しです。


私の記憶では、小学校の算数において明確な順位付けをされていたのは、以下の通り。

括弧演算子がネスト（入れ子）されている場合は、もっとも内側から優先的に計算する。

掛け算や割り算は、足し算や引き算よりも先に行う。

※但し、分数の分母や分子に足し算や引き算がある場合、分母分子に見えない括弧演算子があるものと考える。

分数の分母や分子に分数が含まれる場合、割線の短いものから優先的に計算する。

これ以外は、左から右へ順番に計算する。


といったところだろうか。


続いて、中学生になると、無理数を学ぶようになるために、べき乗が登場する。

a^bc

テキストベースの環境では、a^b^cのように記述される。

実は、このべき乗にも例外的な優先順位が存在し、b^cを先に計算する。


では、実例を示してみましょう。

a=2, b=3, c=5として、

(a^b)^c=8^5=32768

a^(b^c)=2^243=14134776518227074636666380005943348126619871175004951664972849610340958208

ぜんぜん答えが変わってきてしまいますね。

また、前者の場合、

(a^b)^c=a^(b*c)

ということが出来るので、表記として左の表記の意味がなくなってしまうので、意味がないという意見があります。


では、私はなぜ、このような勘違いをしていたのだろうか。

それは、中学のころに、まったく授業を聞いていなかったから。

また、3段以上になるようなべき乗の計算をした記憶がないから。

続いて、プログラミング言語では、計算式における優先順位を明確にするため、括弧演算子を多様するから。

また、プログラミング言語では、言語ごとに仕様が異なっていてもなんら問題はなく、どれが正しいということではないから。

べき乗の二項演算子がある言語はFORTRANくらいしか知らなく、他はpower関数といったもので、否が応でも優先順位を明確に示さねばならないため。


ExcelでもPOWER()ワークシート関数だけではなく、^記号も使えるが、左から右に計算してしまう。

=2^3^5

を計算させると、

32768

となります。

これは、Excelという閉じられた世界では正しい（仕様）ということです。


そうなると、数学という閉じられた世界では、どちらかが正しい、もしくは未定義といった、数学的な見解を示さねばならない。

では、数学的にどちらが正しいのかを考えてみましょう。


^は二項演算子と呼びます。

二項演算には、可換なものと、非可換なものに分類されます。

四則演算の、＋や×は可換な演算子、－や÷は非可換な演算子です。

^演算子は可換なのか、非可換なのか。

a≠bのとき、a^b≠b^aとなるので、^演算子は非可換ということになります。

ここを前提として、

a^b^c=(a^b)^c と考えると、

(a^b)^c=a^(b*c)=(a^c)^b=a^c^b

となり、可換となってしまい矛盾が生じます。

よって、

a^b^c = a^(b^c)

と定義するのが、数学的には正しい（妥当）となります。


二項演算子が出てきたので、単項演算子についても書いておきます。

単項演算子とは、+3、-2、5!、といったものです。

よく議論になるのが、

-3^2

これがいくつなのか。

0-3^2

と結果が同じなのか。


単項演算子は、二項演算子よりも優先順位は高いのです。

ですので、

-3^2=9

となり、-9ではありません。

また、

0-3^2=0-9=-9

となります。

ややこしいのが、単項演算子である符号演算子と加減算演算子が、全く同じ記号であることです。


では、ブログのようなテキストベースの環境下において、正しく認識してもらうには、明確に括弧演算子を使って示す他ないということになりますね。


プログラミング言語においては、仕様で定められているので、自分が求めている動きをしないといった場合、こういった優先順位の勘違いといったこともあるかと思われます。

そう言えば、つい最近ですが、atan2という関数において、JavascriptとExcelで順序が逆だということに気が付きました。

atan関数とは、数学的にいうところのarctan関数のことで、arctanとは、tanの逆関数のことです。

y=x・tanθ

というx-y平面の関数において、

tanθ=y/x

となり、逆関数で

arctan(y/x) = θ

のようになります。

ここで、プログラミング言語としてはどうなるのか。

一般的なプログラミング言語には∞という概念がありません。

xに0が入ると、0除算というようなエラーを出すものもあります。

また、yが限りなく大きかったり、xが限りなく0に近いような場合、θの誤差が出やすくなってしまいます。

また、arctan関数は、別にy/xのようにxとyを別々に入れるような作りにはなっておらず、

atan(n)

のように1つの変数ないし、値で事足りわけです。

そこで登場するのが、atan2関数です。

xとyのような2つの変数を入れることが可能なのです。

それで、どのように定義されているかというと、

Excelでは、

ATAN2(x, y)

Javascriptでは、

Math.atan2(y, x);

のようにx,yの順番が違ったりします。

これは、どっちが正しいとか正しくないとかではなくて、仕様の一言で片付けられてしまいますね。


ではでは