2001年国際数学オリンピック予選問題

2001年の国際数学オリンピックの予選問題です。



図のように縦8、横7の長方形に正方形が5個配置されています。

正方形の1辺の長さを求めよ。


シンキングターイム



正方形を青線と赤線で分けてみる。

青線と赤線は直交することは、正方形より明らか。

どの正方形でも構わないが、正方形の青線を斜辺として、長方形の各辺と平行な線で直角三角形を描き、高さをa、底辺をbとする。

同様に赤線を斜辺として、直角三角形を描くと、直行しているため、高さはb、底辺はaとなる。

長方形の各辺の長さをa、bで表すと、

7=3a+b ...(1)
8=3a+2b ...(2)

(2)-(1)
1=b ...(3)

(3)を(1)に代入
7=3a=1
6=3a
a=2

ピタゴラスの定理より、
a²+b²=2²+1²=5

答え、√5


この問題の補助線として、



緑線が長方形の辺と平行であるとか、いきなりやってはダメですよ。

これは乱暴すぎます。

当然、



こんなのもダメですよ。