真球を同じ形状で等分せよ

今日は、真球を等分することを考える。

但し、左右反転していても同じ形状であれば良しとする。


シンキングタイム


オイラーの多面体定理というものがあります。

(頂点の数)－(辺の数)＋(面の数)＝2

単純な式ですが、すごい式です。


さて、今回は真球なので、正多面体を考えます。

ある多面体の1頂点をAとします。

Aがいくつの辺や面で共有されるかを考えます。

正多面体なので、面は正多角形です。

角が何個集まっているのか、可能性を考えると、

正三角形(60度)×3面→正四面体
正三角形(60度)×4面→正八面体
正三角形(60度)×5面→正二十面体
正三角形(60度)×6面＝360度でNG

正方形(90度)×3面→正六面体＝立方体
正方形(90度)×4面＝360度でNG

正五角形(108度)×3面→正十二面体
正五角形(108度)×4面＝432度でNG

正六角形(120度)×3面＝360度でNG

と5つしか存在しないことが解ります。


真球を、正多面体の辺にあたるように中心に向かって包丁を入れるとする。

こう考えると、正二十面体が20個に分けられたので最多かと思われるが、左右が反転してもよいとあるので、正三角形の中心と、それぞれの頂点と辺の中点の6点で分割して、6等分出来ることから、20×6＝120。

これだけが正解かというと、そうではなくて、一通り調べてみましょう。

正方形は、中心と、それぞれの頂点と辺の中点の8点で分割して、6×8＝48。

正五角形は、中心と、それぞれの頂点と辺の中点の10点で分割して、12×10＝120。

つまり、120個に等分出来るのだが、その方法は2通り存在するという結果となりました。


こういう現実的なことは考えやすい方ですね。