√2が無理数であることを証明せよ

数学の問題には、こういった短い問題が幾つかあって、その内の1つです。


問題
√2が無理数であることを証明せよ


証明する方法は幾つかあるかとは思いますが、背理法を使う方法が一般的かと思います。

なぜかというと、無理数の定義が有理数ではない実数ということに起因しています。

証明の流れは、有理数と仮定し、矛盾し、有理数ではない、故に無理数という感じです。


絶対に背理法を使わなけれなばらないかというと、実はそうでもないんです。

例えば、正則連分数展開を使えば、背理法を使わずして無理数であることが証明できます。


正則連分数展開って何？

連分数とは、分数の分母ないし分子に分数があるような分数です。

正則連分数とは、分母が分数で、分子は恒に1になるように展開したものです。


なぜ、正則連分数展開だと背理法を使わなくてもいいのか。

それは、有理数という言葉を使わずして無理数を説明出来るからです。


ある数xを正則連分数展開したとします。

有限回の展開で表せたならば、xは有理数。
有限回の展開で表せないならば、xは無理数。

また、

xが有理数ならば、有限回の展開で表せる。
xが無理数ならば、有限回の展開で表せない。

と、必要十分条件になっています。


では、有限回の展開で表せないとはどういうことか。

これは、割り算の筆算で、同じ余りが繰り返し登場するのと同じです。

割り算の場合は、割り切れれば有限小数、同じ余りが繰り返されれば循環小数となります。

連分数展開では、割り切れれば有理数、同じ分母が繰り返されれば無理数となります。


では、証明してみましょう。


√2を正則連分数展開する。

√4 = 2 > √2 > √1 = 1 より、

√2の整数部分は1、小数部分は√2 - 1 = 1/(√2 + 1) ...(a)

√2 + 1の整数部分は2、小数部分は√2 + 1 - 2 = √2 - 1 = 1/(√2 + 1) ...(b)

(a)と(b)が等しいので、

√2 = [1;1,1,1,...]

の様に無限に続く。

故に、√2は無理数。

//


さて、この背理法を使わずに正則連分数展開で証明する方法は、具体的な値であるから出来るのであって、

√pが無理数であることを証明せよ。但しpは素数。

といった場合には使えない。


というわけで背理法を使って証明してみよう。


√pが有理数と仮定すると、

√p = n/m

の様な整数m, nが存在する。

ここでは、mとnは互いに素で、m≠0とする。

両辺をm倍し、2乗する。

pm² = n²

ここで、左辺と右辺のそれぞれを素因数分解したとして、素因数pの個数を考えると、

左辺は奇数個、右辺は偶数個となり、矛盾する。

したがって、√pは有理数ではない。

故に、√pは無理数。

//


素因数分解とか使ってみました。

これも知っておいたほうが良い方法ですね。


例えば、12という数で考えてみましょう。

12 = 2²・3¹
12² = 144 = 2⁴・3²

2乗することで素因数の数が倍になってます。

つまり、2乗すると、素因数の数は必ず偶数になります。

この性質を使うと楽に証明できますね。