久々に、午後の一時に過去問を解いてみる。
問題
素数 p, q を用いて、
p^q + q^p
と表される素数をすべて求めよ。
でました。「すべて求めよ。」
すべて求めよ。という問題は、ある程度の個数で、それ以外に存在しないことを証明しなければならない。
つまり、列挙するだけでは不十分ということ。
まずは、絞込。
p, q が共に偶数のとき、p^q, q^p も共に偶数となり、p^q + q^p も偶数。
p, q が共に奇数のとき、p^q, q^p も共に奇数となり、p^q + q^p は偶数。
偶素数は2のみ。
p^q + q^p > 2
これらより、
p^q + q^p が素数であるには、p, q の偶奇が異なる、つまり p^q + q^p は奇数となります。
p, qは可換より、pを偶数、qを奇数とする。
q ≥ 3
2^q + q^2 > q
仮に、
q=3のとき、2^3 + 3^2 = 17 で素数。
q=5のとき、2^5 + 5^2 = 57 = 3⨯19 で合成数。
q=7のとき、2^7 + 7^2 = 177 = 3⨯59 で合成数。
q=11のとき、2^11 + 11^2 = 2169 = (3^2)⨯241 で合成数。
q=13のとき、2^13 + 13^2 = 8361 = (3^2)⨯929 で合成数。
...
これより、q>3のとき、3で割り切れて合成数になりそうだということが見えてくる。
3より大きな素数ｑは、3以下の素数である2と3で割り切れないため、q=6n±1に含まれることとなる。
2^(6n±1) + (6n±1)^2
= (64^n)⨯(2^(±1)) + (36n^2±12n+1)
≡ (1^n)⨯((-1^(±1)) + 1 (mod 3)
≡ -1 + 1 (mod 3)
≡ 0 (mod 3)
∴ 2^3 + 3^2 = 17のみ。
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京大 2016
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