また、お昼のひとときに過去問を解いてみる。
1＋2＝3,
4＋5＋6＝7＋8,
9＋10＋11＋12＝13＋14＋15,
…
について1＋2を第1式、3を第2式、4＋5＋6を第3式と呼ぶ。
1) 75は第何式何番目か
2) 第30式の和を求めよ
3) 数の個数が偶数で和が1518なのは第何式か。
いきなり、第何式を求めるのはやめて、何行目の式なのかということを考えてみる。
n行目の左辺の一番小さな値は、n^2である。
n^2≦75＜(n＋1)^2
n＝8
と8行目の式に75が使われている事がわかる。
式の左辺に含まれるか、右辺に含まれるかは、その式の一番小さな値と一番大きな値から中間の値を求めることで判明する。
(64＋81－1)÷2＝72
これより、75は8行目の右辺にあるので、
8×2＝16
75－72＝3
答え 第16式の3番目
30式、つまり15行目の等式は、
15^2＝225から始まり、16^2－1＝255で終わる。
等差数列の和を求めて、それの半分を求めれば良い。
(225＋255)×(255－225＋1)÷2÷2＝3720
答え 3720
さて、3)なのだが、ちょっとトリッキーな解き方を披露する。
先の式を台形の面積の公式に当てはめたとして、
(上底＋下底)×(高さ)÷2＝1518
ということになる。
1518を素因数分解すると、
1518＝2×3×11×23
高さの部分にあたる式を行数nを使って表すと、
(n＋1)^2－n^2＝2n＋1
となる。
これより、nと2n＋1に該当する因数は、11と23の組み合わせしかないことがわかる。
11行目の左辺と右辺のトータルの項数が23項なので、左辺が12項、右辺が11項。
よって偶数項の左辺は第何式なのかというと、
11×2－1＝21
答え 第21式
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学習院中等科09
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