シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

数学者と呼ばれる人は思ったよりも多く居る。

定理や理論など、発見者の名の付いたものは数知れず。

アーベル、エラトステネス、オイラー、ガウス、ガロア、ゲーテル、コーシー、関孝和、志村五郎、谷山豊、テイラー、デカルト、ネイピア、パスカル、ピタゴラス、ヒルベルト、フーリエ、フェルマー、ペアノ、ベルヌーイ、ポアンカレ、マクローリン、メルセンヌ、モアブル、モルガン、ユークリッド、ラグランジュ、ラプラス、リーマン、…

あげたらキリがないし、いずれも天才であることは重々承知している。

そんな中、インドの魔術師との異名を持つ、ラマヌジャン。

彼は先に掲げた数学者とは異質な感じを受ける。

例えば、こんな式。

ラマヌジャンの公式

1	=	2√2	∞ Σ n=0	(4n)!・(1103+26390n)
π		992		(4n・99n・n!)4

こんな式を夢の中で見て、自分自身で発見への道筋やら証明すらできない。

私もこんな円周率を求める式を見たことがなかったし、唐突に登場する定数がさっぱり理解できないでいる。

オイラーの等式のような簡素な数学的美しさというものはないのだが、これはこれですごいポテンシャルを持つ数式なのである。

仮に、n=0のとき、
1/π=(2√(2)/9801)*(1103/1)=(1103*2√(2))/9801
π=9801/(1103*2√(2))=3.14159273001...
と十進数表記では小数点以下6桁まで正しいことになる。

実は、これもすごいことなのだが、もっとすごいことは収束する速度が尋常でなく速いのである。

例えば、Σの中の計算に着目し、常用対数のlog10を取る。

仮に、Σの中の式をR[n]という数列とみて、

A = (4n)!
B = (1103+26390n)
C = 4*99 = 396
D = n!

として、log10を取ると、

log10(R[n]) = log10(A*B/((C^n*D)^4)) = log10(A) + log10(B) - 4n*log10(C) - 4*log10(D)

と置き換えられる。

AとDに含まれる階乗のlog10については、スターリングの公式

n! ～ (2nπ)^(1/2) * (n/e)^n

の両辺のlog10を取り、

log10(n!) ～ log10(2nπ)/2 + n*log10(n/e)

を適用することで近似値を求めることが可能である。

log10(R[n]) ～ log10(8nπ)/2 + 4n*log10(4n/e) + log10(1103+26390n) - 4n*log10(396) - 4*log10(2nπ)/2 - 4n*log10(n/e)

πの係数をnとπと定数に分離し項をまとめる。

= log10(8)/2 + log10(n)/2 + log10(π)/2 + 4n*log10(4n/e) + log10(1103+26390*A2) - 4n*log10(396) - 4*log10(2)/2 - 4*log10(n)/2 -4*log10(π)/2 - 4n*log10(n/e)

= - log10(2)/2 - 3*log10(n)/2 - 3*log10(π)/2 + 4n*log10(4n/e) + log10(1103+26390n) - 4n*log10(396) - 4n*log10(n/e)

同様に、eの係数をnとeと定数に分離し項をまとめる。

= - log10(2)/2 - 3*log10(n)/2 - 3*log10(π)/2 + 4n*log10(4) + 4n*log10(n) - 4n*log10(e) + log10(1103+26390*A2) - 4n*log10(396) - 4n*log10(n) + 4n*log10(e)

= - log10(2)/2 - 3*log10(n)/2 - 3*log10(π)/2 + 4n*log10(4/396) + log10(1103+26390*n)

= - log10(2)/2 - 3*log10(n)/2 - 3*log10(π)/2 + 4n*log10(1/99) + log10(1103+26390*n)

= - log10(2)/2 - 3*log10(n)/2 - 3*log10(π)/2 - 4n*log10(99) + log10(1103+26390*n)

降べきの順に並べ替える。

= - 4n*log10(99) - 3*log10(n)/2 + log10(1103+26390ｎ) - 3*log10(π)/2
- log10(2)/2

R[n]は数列であり、R[n] > R[n+1]なので、階差数列S[n]=R[n]-R[n+1]を考えると、nの含まれない定数項は打ち消される。

この階差数列はあまりにも緩やかな傾斜なので、nを指数的に増やしてみる。

n	S[10^n] = R[10^n] - R[(10^n)+1]

スターリングの近似の精度を上げてもよいのかもしれないが、nが大きくなるにつれ、絶対誤差は大きくなるが、相対誤差は小さくなるという性質から、今回のケースでは精度を上げることに意味がないものと思われる。

多倍長演算で計算した結果なので、どこまで精度が出ているかは解らないが、このデータを見る限りでは収束しているようにも見える。

このことから、nが1増えるのに対し、7桁ちょい欠けるくらいの精度を保つということになります。


また、ラマヌジャンは同様にこんな公式も発見しています。

1	=	1	∞ Σ n=0	(-1)n・(4n)!・(1123+21460n)
π		3528		(n!)4・141122n

当時はこんな式で本当に求まるのか謎だったと思う。


さて、本日ラマヌジャンの記事を書いたのには理由がありまして、今日が命日なのです。

1920年4月26日、ラマヌジャンは32歳という若さで病死してしまう。

インドのカースト制度の最下層である極貧のバラモンのラマヌジャンが食べられる物は限られており、渡英した先での食生活は厳しいものであったことは想像に難くない。

ラマヌジャンの円周率の公式が研究され、チュドノフスキー兄弟やボールウェイン兄弟などの研究チームによって、より制度の高いパラメータが発見されている。

1	=	12	∞ Σ n=0	(-1)n・(6n)!・(A+Bn)
π		√C		(3n!)・(n!)3・Cn

というラマヌジャンの公式の形式に則り、

チュドノフスキーの公式

A = 13591409
B = 545140134
C = 640320^3

ボールウェインの公式

A = 1657145277365＋212175710912√(61)
B = 107578229802750＋13773980892672√(61)
C = (5280(236674＋30303√(61)))^3

というパラメータを与えている。


さて、私がコンピュータに取り憑かれていた大学時代は、円周率の桁数を競うのであれば、マチンの公式かその派生が主流でした。

マチンの公式

π	=	4arctan	1	-	arctan	1
4			5			239

ストマーの公式

π	=	6arctan	1	+	2arctan	1	+	arctan	1
4			8			57			239

ガウスの公式

π	=	12arctan	1	+	8arctan	1	-	5arctan	1
4			18			57			239

高野喜久雄の公式

π	=	12arctan	1	+	32arctan	1	-	5arctan	1	+	12arctan	1
4			49			57			239			110443

私が大学を卒業したあとくらいから、ラマヌジャン系の公式が流行り始めたように思う。

私が大学2年か3年の時に、円周率10万桁とかを計算して遊んでいたから、数学科で、円周率に興味があって、プログラミングが出来た人間は、円周率の多桁計算の速度アップに躍起になっていた。

あの頃、ラマヌジャンの公式なんて知らなかった。

よくよく調べてみると、ボールウェイン兄弟（ジョナサン・ボールウェインとピーター・ボウルウェイン）によって、1987年にラマヌジャンの円周率の公式が証明されている。

ラマヌジャン死後67年も掛かったのですね。

1987年は、ちょうど私が大学に入学した年です。

そっか、あの頃、こんな公式が証明されていたんだな。

理学部数学科の学生だったのに、今のようなネット社会じゃなかったしね。