一橋大学 2015

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。

問題

1				=		9
x+	1					11
	y+	1
		z

を満たす整数(x, y, z)の組をすべて求めよ。

これは手ごわそうです。

まずは分数を消してみましょう。

1/(x+(1/(y+(1/z))))=9/11
両辺を11倍する
11/(x+(1/(y+(1/z))))=9
両辺を(x+(1/(y+(1/z))))倍する
11=9(x+(1/(y+(1/z))))
11=9x+9/(y+(1/z))
9xを移項する
11-9x=9/(y+(1/z))
両辺を(y+(1/z))倍する
(11-9x)(y+(1/z))=9
両辺をz倍する
(11-9x)(yz+1)=9z

これで分数がすべて消えましたね。

右辺は9の倍数で、x, y, z∈Zより、
(11-9x)は3の倍数にはならない。
よって、(yz+1)が9の倍数となる。

m, n∈Zなるm, nを、
11-9x=m .....(1)
yz+1=9n .....(2)
z=mn .....(3)
とする。

(3)式を(2)式に代入。
mny+1=9n
mny-9n=-1
n(my-9)=-1
n=±1
my-9=∓1
my=9∓1
my={ 8 10 }

mは8または10の約数
m={ ±1 ±2 ±4 ±5 ±8 ±10 }
に絞られる。

これらのmを(1)式に代入すると、
m=2でのみ整数x=1が定まり、
m=2より(n, y)={ (1, 4) (-1, 5) }に絞られる。

これらのm、nを(3)式に代入し、
(x, y, z)={ (1, 4, 2) (1, 5, -2) }
//


なかなかおもしろい問題でした。