午後のひとときに数学の問題を解いてみる。
1)半径rの円に内接し、１つの対角線の長さがlの四角形の面積最大値をr, lで表せ
2)半径rの円に内接する四角形の面積最大値を求めよ
3)点Oを頂点とし四角形ABCDを底面とする四角錐がOA=OB=OC=OD=1を満たすとき四角錐の体積の最大値を求めよ。
円に内接する四角形の問題ですね。
半径rの円の任意の2点をA, Cとし、ACの長さを l として、A, Cが水平になるように図示したとする。
円弧AC間の任意の点B、円弧CA間の任意の点Dをとり、三角形ABCと、三角形CDAがそれぞれ面積最大になるには、どちらも底辺をACとした二等辺三角形が面積最大であることは自明。
つまり、四角形ABCDは凧形である。
1)
1つの対角線の長さが l であるから、もう1つの対角線の長さは、凧形より直径 2r である。
よって面積は、
l×2r÷2=lr
答え
lr
2)
今度はBDを底辺として考えれば、AやCが頂点となる二等辺三角形が最大であり、つまりは四角形ABCDは正方形となる。
2r×2r÷2=2r^2
答え
2r^2
3)
四角錐の高さを固定したと考えると、底面積が最大が、体積の最大になることは自明。
つまり、底面は正方形が最大である。
仮に正四角錐の高さをh、底面の1辺の長さをwとして、関係式をを考えると、
h^2+(w√2)^2=1^2
h^2+2w^2=1
2w^2=1-h^2
w^2=(1-h^2)/2
これで、底面積w^2=(1-h^2)/2、高さはhとして、体積を求めるには、
f(h)=((1-h^2)/2)×h÷3
=(h-h^3)/6
=-(1/6)h^3+(1/6)h
極大を知りたいので、1回微分して、
f'(h)=-(1/2)h^2+1/6
-(1/2)h^2+1/6=0
-(1/2)h^2=-1/6
h^2=1/3
hは正なので、
h=1/√3
体積は、
((1/√3)-(1/√3)^3)/6
=((1/√3)-(1/(3√3)))/6
=2/(3√3)/6
=1/(9√3)
分母を有理化して、
=(√3)/27
答え
(√3)/27
久しぶりに微分とか使ったよｗ
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早稲田理工09
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