ピタゴラスに捧ぐ図形問題 -その2-

午後のひとときに、図形問題を作成したので、解いてみる。




問題
円の中心をOとする四分円AOBがあり、AO上の点Pと、弧AB上の点Qと、点Bとを直線で結んだところ、∠PQB＝90˚、PQ＝119cm、QB＝120cmであった。
APの長さを求めよ。


シンキングタ～イム


さて、毎回毎回言っている図形問題を解くときの鍵は補助線である。
今回もどこに補助線を引くのがベストなのかという話し。
鉄則から言えば、PB、OQだろうが、余計なものを引くのは出来ることなら混乱するので避けたい。

まず、補助線を引く前にちょっとイメージだけを考えてみる。



補助線PBを引いたとして、AOを軸として、BをB'の位置に反転させてみる。

∠PQBが直角ということより、直径の円周角は90˚なので、線分QPと線分PB'は同一直線上にあることが解ります。

つまり、今回引くべき補助線はPBということです。

OQを引きたい気持ちは解らなくもないが、今回は角度を求める問題ではないし、その補助線で解ることはとりあえず何一つないのである。



PBの長さをピタゴラスの定理で求めてみると、
√119²＋120²＝√14161＋14400＝√28561＝169

QB'の長さは、
119＋169＝288

直径であるBB'の長さをピタゴラスの定理で求めてみると、
√288²＋120²＝√82944＋14400＝√97344＝312

半径は、
312÷2＝156

もう一回、ピタゴラスの定理を使ってOPを求めても良いんだけれども、もう飽きたので、
比で求めましょうかね。

⊿QB'B∽⊿OBP
なので、
288：120＝156：OP
外項の積と内項の積は等しいので、
288✕OP＝120✕156
OP＝120✕156÷288＝65

求めたいのはAPなので、
156－65＝91

答え 91cm


中学生ならば難なく解ける問題ですね。

小学生でも、ピタゴラスの定理を知らなくとも、直角三角形の求めたい辺が解らなくても、残りの2辺から求めることは可能である。
直角三角形の長辺を外側に、4枚をつなげると、外に大きな正方形、内側に小さな正方形が出来、解っている2辺から残りの辺の長さを面積を使って求めることが出来ます。

ただし、円周角の定理を知らないので、そこがネックになってくるかとは思うので、今回の問題は小学生にはちょっと厳しいかとは思う。

あと、169とか出てきたら、13✕13だと気がついて、半径の156も12✕13だということに気がつくと、5：12：13のピタゴラス三角形だとピンときて、5✕13＝65と安直に答えを出すことも出来る。
119：120：169も覚えておけとは言わないが、結構覚えやすいほうかもしれないな。
119と120は差が1なので、互いに素ですから、原始ピタゴラス三角形なんですね。


ではでは