午後のひとときに、2018年のブルガリアの数学オリンピックにチャレンジします。
問題
| ⎛ ⎝ | 6 5 | ⎞ ⎠ | √3 | vs | ⎛ ⎝ | 5 4 | ⎞ ⎠ | √2 |
どっちが大きい？
シンキングタ～イム
数オリだけあって、歯ごたえが違いました。
私は最初、
√6≒2.449489＜2.45＝49/20
が鍵になるのではと予想して取り組みました。
双方を√3乗する。
左の指数は3、右の指数は√6
となりました。
3＞49/20＞√6
3＞49/20
20倍して、
60＞49
左の60乗、右の49乗を比べれば解る。
指数が整数なので、
分母の指数回の掛け算、
分子の指数回の掛け算、
もうすこし上手く取り組めば計算回数、計算時間は減らせるが、こんな手計算はエレガントとは言えないだろう。
さて、どうしたものか。
log(1＋x)のマクローリン展開で、不等式で挟む方法がある。
－1＜x＜1
というxの範囲において、
0を中心とするマクローリン展開を考えると、
| log(1＋x)＝x－ | x2 2 | ＋ | x3 3 | － | x4 4 | ＋… |
項が交互に符号が変わっていることからも解るように、振動しながら収束していく。
最後の項の符号で、＋なら上から、－なら下から挟み込める。
項数を増やせば増やすほど、精度は高まるということ。
今回の問題の双方をlogを取って、logの中を(1＋x)の形にすると、
| √3log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ |
| √2log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ |
となり、それぞれのxが決まりましたね。
√3≒1.7320508
√2≒1.41421356
は、語呂で覚えているので、、末尾を切り捨てるか繰り上げるかで、こちらも挟み撃ちに採用する。
log(1＋x)の挟み撃ちは、
| x－ | x2 2 | ＋ | x3 3 | － | x4 4 | ＜log(1＋x)＜x－ | x2 2 | ＋ | x3 3 | － | x4 4 | ＋ | x5 5 |
としてみましょうか。
前者は、
1 5 | － | 1 2・52 | ＋ | 1 3・53 | － | 1 4・54 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1 5 | － | 1 2・52 | ＋ | 1 3・53 | － | 1 4・54 | ＋ | 1 5・55 |
1 5 | － | 1 50 | ＋ | 1 375 | － | 1 2500 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1 5 | － | 1 50 | ＋ | 1 375 | － | 1 2500 | ＋ | 1 15625 |
37500－3750＋500－75 187500 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 37500－3750＋500－75＋12 187500 |
34175 187500 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 34187 187500 |
| 0.1822666 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 0.1823306 |
後者は、
1 4 | － | 1 2・42 | ＋ | 1 3・43 | － | 1 4・44 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1 4 | － | 1 2・42 | ＋ | 1 3・43 | － | 1 4・44 | ＋ | 1 5・45 |
1 4 | － | 1 32 | ＋ | 1 192 | － | 1 1024 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1 4 | － | 1 32 | ＋ | 1 192 | － | 1 1024 | ＋ | 1 5120 |
3840－480＋80－15 15360 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 3840－480＋80－15＋3 15360 |
3425 15360 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 3428 15360 |
| 0.2093520 | ＜log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 0.2095354 |
それぞれ、√も挟み撃ちして掛けてみます。
前者は、
| 1.7320508✕0.1822666 | ＜√3log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1.7320509✕0.1823306 |
| 0.31569501034328 | ＜√3log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 5 | ⎞ ⎠ | ＜ | 0.31580587982754 |
後者は、
| 1.41421356✕0.2093520 | ＜√2log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 1.41421357✕0.2095354 |
| 0.29606843721312 | ＜√2log | ⎛ ⎝ | 1＋ | 1 4 | ⎞ ⎠ | ＜ | 0.296327806075378 |
となりまして、
前者＞後者
が確定しました。
| ⎛ ⎝ | 6 5 | ⎞ ⎠ | √3 | ＞ | ⎛ ⎝ | 5 4 | ⎞ ⎠ | √2 |
さて、これが正しいか、電卓で計算してみると、
1.3713425…＞1.3710441…
のようになって、小数点以下第3位まで同じという絶妙な近さの問題であることが解ります。
最初に取り組んで出た60乗と49乗も試してみると、
56347.…＞56051.…
となりまして、一応正しさは証明出来ます。
テーラー・マクローリンの級数展開って役に立ちますね。
ではでは