今ちょっと気になって研究しているもの

今、ちょっと気になって研究しているものがありまして、だいぶ掴めてきたので、ちょっとお披露目をと書いてみます。

正方形の薄いガラスがある。
このガラスが割れると、すべての破片は必ず二等辺三角形になる。
という特徴を持っている。

イメージ出来ましたか？

問題
4片に割れたときの、復元図をすべて答えよ。
ただし、正方形の1辺を底辺として、回転解、鏡像解は同じものとみなすこととする。


シンキングタ～イム


こういうのを考えるとき、手始めに小さい方から順番に考えることが大事である。

第1世代：2片に割れたケース



回転解、鏡像解を除くと、この1通りになります。
なぜ、赤で描いたかは、後に説明します。


第2世代：3片に割れたケース



こちらも、回転解、鏡像解を除くと、1通りになります。
なぜ、黒で描いたかは、後に説明します。


第3世代：4片に割れたケース



回転解、鏡像解を除くと、4通り見つかりました。


さて、色別した理由を述べますと、片数を世代とみて、遺伝的に考えます。
赤は親や先祖が居ない原種。
黒は親が居る。
青は親は居ないが、先祖は居る。
というように分類しました。

算数や数学の問題として使うならば、このくらいが丁度良いのかと思います。

みなさんは、4種類見つけられましたでしょうか？

数学屋の私としては、もっと見つけたくなってしまいます。


第4世代：5片に割れたケース



とりあえず、回転解、鏡像解を除いて、15通り見つけました。
もしかしたら他にもあるかもしれません。
本当に漏れなく、ダブりなく探すというのは大変です。

この第4世代には原種は居ませんが、新しい分類、新色の緑を作りました。
緑は、一見すると先祖の居ない原種かと思われるが、兄弟、従兄弟、再従兄弟、と呼べる明らかに親しいものが同世代に居る。
もっと厳密にいうと、
自身には先祖が居ないが、自身の子孫には自身以外の先祖が居る。
としました。


第5世代：6片に割れたケース



とりあえず、回転解、鏡像解を除いて、49通り？見つけました。

組合せ爆発が起こり始めていますね。
これ以上やるのは危険ですので、この辺でとりあえずやめておきます。

さて、新たな分類、新色の紫が登場しています。

3つならんだ紫を見比べてみてください。
2辺と残りの角に頂角が接している二等辺三角形がありますが、これって底辺の長さがリニアに変化しても、他の二等辺三角形がそれに伴って二等辺三角形を保ったままで要られるということが解ります。
図では頂角を30˚、45˚、60˚を用意しましたが、0˚＜θ＜90˚の範囲で、つまり紫は無限に存在することを意味しています。
よって、無限種と命名しましょうか。
そうなると、無限種以外を有限種として、それぞれ別々にカウントする必要があって、上記の2つの無限種は1種類としてカウントするのが望ましいということになります。


こうやって、少ない方から順番にやっていくと、三角形の分割には、いくつかのルールが見えてきます。

いかなる三角形も、4分割、9分割、16分割、…、n²分割と辺を等分することで、自己相似図形として分割が可能で、＋3、＋8、＋15、…、n²－1と数を増やしていけます。
これは、上記色でいうと世代を飛び越えてしまうので、青の関係になります。

頂角が90˚以上の二等辺三角形は、3つの二等辺三角形に分割出来ます。
これも＋2ですので、青の関係になります。

直角二等辺三角形は、長辺とその対角とを結ぶことで、自己相似図形となって、親子の関係、つまり上記色でいうと黒の関係になります。

直角三角形の内角がπ/8、3π/8、π/2となるようなものは、2通りの二等辺三角形に分けることが出来ます。
これも黒の関係になります。

他にも関係性の解る三角形は存在することでしょう。

こういった関係を漏れなく考えるというのは大変であるが、見つけたときの感情は計り知れませんね。

さて、各世代の種類を考えるのは一旦やめたが、原種だけ、無限種だけを考えることならば、もしかしたら他よりも簡単なのかもしれません。

10分割までの原種や無限種を考える



最初の3種は今まで登場した原種ですね。
2段目は、先の30˚、45˚、60˚の無限種を並べました。
3段目は10分割されているので、第9世代となります。
上方向に先祖、横方向に兄弟・従兄弟・再従兄弟、と遺伝的な繋がりらしきものが解るように配置してみました。
いずれにしても、中央に正方形を内包していることが解りますね。
つまり、今後、すべての種をこの内側に内包することが出来ることを意味しています。


第1世代：有限種1種（赤1）、無限種0種
第2世代：有限種1種（黒1）、無限種0種
第3世代：有限種4種（黒2青1赤1）、無限種0種
第4世代：有限種15種（黒6青8緑1）、無限種0種
第5世代：有限種46種（黒36青7緑1赤2）、無限種1種
…

種の個数に着目すると、1, 1, 4, 15, ∞, ∞, …, ∞ という数列となりますので、不思議な数列ですね。

このようにまとめると、第奇数世代に必ず原種（赤）が1種以上見つかっています。
第9世代にも原種が1種見つかっていますので、第7世代も見つかるのでしょうか？
奇数世代には原種が必ず出現するのだろうか？
偶数世代には原種が必ず出現しないのだろうか？
という謎もあったりします。


遺伝的に考えたり、世代的に考えたり、原種だけを考えたり、無限種だけを考えたり、
こういうのを面白いと思えるか、思えないか。

私は面白いと思ってしまうので、ついつい時間を忘れてノートに新種が見つからないか描いております。

ここには載っていない新種などの情報がありましたら、コメントにてお待ちしております。

今、ちょっと気になって研究していることでした。


ではでは