ピタゴラスに捧ぐ図形問題

午後のひとときに、図形問題を作ってみたので、解いてみる。



上図の通り、
反時計回りに、AB＝73cm、BC＝44cm、CD＝21cm、DE＝28cm、EA＝52cm
∠C＝90˚、∠D＝270˚という凹五角形がある。
色付きの部分の面積を求めよ。


シンキングタ～イム


小、中、高校生を対象に、使えるものが違うが、それぞれがそれぞれの知識だけ解けるかとは思うような問題を作りたかったというのがある。

この一見するとバラバラな長さに意味があるのか。

高校生ならば三角関数や様々な三角形の面積の求め方が、、中学生ならば三平方の定理が、それぞれ使えるが、小学生には酷であるが、ピタゴラスを垣間見ることは出来る。

一番最初にやるのは、凹角形は面倒ということなので、凹んだ部分をどうにかしたい。

21：28＝3：4
から、CEの長さは35だということが解るのだが、そうしたからといって解きやすくなるわけではない。
つまり、スケープゴートである。



やるならば、このように補助線を引いてみる。

凸四角形ABFEの面積から、長方形CFEDの面積を引けば、問題の面積となる。

三角形BFEは、7：24：25の直角三角形ですので、斜辺は75cmであることが解ります。

小学生であれば、この図形を4つ用意して、BEが外側で正方形を作るように、頂点Fが内側になるように、組み合わせると、
三角形BFEの面積は21✕72÷2＝756
これが4つなので756✕4＝3024
内側に出来る正方形の1辺の長さは72－21＝51cmであり、
51✕51＝2601
3024＋2601＝5625
これがBEを1辺とする正方形の面積なので、
BE✕BE＝5625
BE＝75cm
と求まる。

中学生や高校生は三平方の定理を使って解けばよい。

続いて、三角形BEAの面積を求めたいが、高校生ならばヘロンの公式から求めることも出来るだろう。

√100(100－73)(100－75)(100－52)
＝√100・27・25・48
＝√10²・3³・5²・2⁴・3
＝1800



頂点AからBEへ垂線の足を下ろし、Gとする。

勘が鋭い人ならば、52が13の倍数であるから、5：12：13の直角三角形だと考え、EG＝20cm、GA＝48cm、と仮にして、GB＝75－20＝55cmで、48：55：73が直角三角形なのかを調べる必要が出てくるだろう。

とりあえず、三平方の定理で確認すると、
48²＋55²＝2304＋3025＝5329＝73²
と、∠AGB＝90˚であることが解り、AGとBEは直交していることが証明される。

ということで、
三角形ABEの面積は、
75✕48÷2＝1800
三角形BFEの面積は、
72✕21÷2＝756
長方形CFEDの面積は、
28✕21＝588
よって、色付きの部分の面積は、
1800＋756－588＝1968

答え 1968cm²

まぁ、いきなりBEを結んで、CDとの交点をFとしたら、
三角形BEFと三角形EDFが相似になって、面積比は44²：28²
とやって進めていくことも出来る。

3：4：5
5：12：13
7：24：25
48：55：73
という4種類の比率のピタゴラス三角形を使ってはみたが、
頭の3つくらいは暗記しておいても良いかと思う。
あとは、15：8：17くらいは知っていても損はないだろうか。

それにしても、自作しておいてなんだが、あまり美しい問題ではないな。


ではでは