午後のひとときに、数学の図形問題を解いてみる。
Oを中心とする円を描き、その円に内接する正三角形を描く。
もしくは、正三角形を描き、外接する円を描くでも良い。
正三角形ABCの、ABおよびACの中点をそれぞれM、Nとして、M、Nを直線で結び、円との交点をそれぞれP、Qとする。
PM＝NQ＝1のとき、MN＝xを求めよ。
シンキングタ～イム
三角形AMNに着目すると、正三角形であることが容易に解る。
直角三角形AMOに着目すると、
半径OAを求めると、∠AMO＝90˚、∠MOA＝60˚、OM＝xより、
| OA＝ | 2x √3 |
また、AOとMNの交点をLとすると、
直角三角形ALM、直角三角形MLOが出来、
⊿AMO∽⊿ALM∽⊿MLO
となり、OLの長さを求めると、
| OL＝ | x 2√3 |
直角三角形OPLに着目すると、
OP＝OAであり、OA、OLはxで表せているので、三平方の定理を使って、
| ⎛ ⎝ | 1＋ | x 2 | ⎞ ⎠ | 2 | ＋ | ⎛ ⎝ | x 2√3 | ⎞ ⎠ | 2 | ＝ | ⎛ ⎝ | 2x √3 | ⎞ ⎠ | 2 |
x2＋4x＋4 4 | ＋ | x2 12 | ＝ | 4x2 3 |
3x2＋12x＋12＋x2＝16x2
12x2－12x－12＝0
x2－x－1＝0
x＞0なので、
| x＝ | 1＋√5 2 |
と求まりました。
さて、このxの値、数学的には意味のある値でして、黄金比と呼ばれるものです。
一般的に、この黄金比を作図しようとすると、正五角形や正五芒星などが一般的ですが、正五角形の作図は、正三角形に比べてややこしいですよね。
今回のような作図でも現れるということを知れたのは、黄金比を作図するという意味では大きな意味があるかと思います。
ではでは