ネットで、こんな問題が出題されていた。
なるほど、面白いことを考えるなと思いました。
私は直感的に、大は面積最大の正n角形であり、正n角形をnの偶奇で分けて考えようと思いました。
とりあえず、n＝5, 7, 8の大を描いてみました。
n＝6が出来ているんだから、n＝5は出来て欲しいなと思い、プログラミングにおいて、代数的に厳密に計算して図示してみました。
n＝5は出来た。
図的には綺麗に出来ていて、おそらく机上で代数的に厳密に計算しても、正しさは証明出来そうではあると思う。
さて、n＝7に行くのだが、内角が有名角ではないものなので、どうなってしまうのだろうか。
ここが鬼門だと思った。
まず、小の高さは、大の高さの半分であるから、半径rの半分でもあるので、緑の線を引いてみて、小の底辺が、半円の底辺と接するケース（赤）と、緑の線に接するケース（青）を、大の辺の長さから描いてみたところ、共に大と重なる部分が出来てしまった。
これにより、半円に内接する面積最大の正n角形という考えが崩れてしまった。
そうでないにしても、まだ行けるかもしれない。
一縷の望みを掛けて、大の向きを180˚回転させてみる。
前回同様に、大の高さの半分の線を引いてみた。
左の小（赤）は明らかに接していない。
右の小（青）は惜しいが接していない。
n＝8についても、n＝7と同様の試行錯誤をしてみたが、上手くいかなかった。
n＝3, 4, 5, 6と∞について、上手くいくのに、n＝7, 8で上手くいかない。
他を調べたわけではないが、上手くいくn、上手くいかないnというのが存在するのだろう。
何か不思議な感覚であるが、
フェルマーの定理
Xn＋Yn＝Zn
を満たす自然数X、Y、Zは、n＝1, 2しか存在しない。
に近い感覚なのだが、今回の図形問題は、
n＝3, 4, 5, 6, ∞
と上手くいくケースが多いし、∞でも上手くいっているのが妙でもあり、途中も上手くいくだろうという錯覚に陥ってしまう。
実に面白い問題でした。
出来ることならば、n＝7で上手く行って欲しかったという希望はあったのだが…
もし、前提条件が間違っているとか、こうやれば上手くいくということがあれば、コメントにてお待ちしております。
ではでは