指数の連立方程式

午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。


問題
a^b＝343
b^c＝10
a^c＝7
のとき、
b^bを求めよ。


シンキングタ～イム


指数・対数計算に慣れていない人は、さっさと両辺のlogを取りましょう。

blog10(a)＝log10(343)＝log10(7³)＝3log10(7)　… (1)
clog10(b)＝log10(10)＝1　… (2)
clog10(a)＝log10(7)　… (3)

(2)÷(3)を計算すると、
clog10(b)/clog10(a)＝1/log10(7)
log10(b)/log10(a)＝1/log10(7)　… (4)

(1)×(4)を計算すると、
blog10(a)・log10(b)/log10(a)＝3log10(7)/log10(7)
blog10(b)＝3
log10(b^b)＝3
b^b＝10³＝1000

答え 1000


logを使わずに考えると、

a^b＝343＝7³＝(a^c)³＝a^3c
b＝3c
b^b＝b^3c＝(b^c)³＝10³＝1000

といった感じだろうか。

どっちも出来た方がいいだろうな。
あと、1桁の3乗くらいまでは覚えているのが良いかもしれないな。


ではでは