正五角形の底辺から仰角45度

午後のひとときに、図形問題を解いてみる。



最近、問題文を英語にしている。
とは言っても、外国人がこんなブログを見に訪れるかは解らないけれども。



問題
正五角形ABCDEがあり、
CDを底辺とし、
Cから仰角45˚の直線を引き、
正五角形との交点をFとする。

EF＝1のとき、
正五角形の一辺の長さxを求めよ。

※英語において、正多角形は、regularを使います。

また、解答は三角関数を含んでもよいが、出来るだけ簡潔なものにするか、
出来るならば、三角関数を使わずに厳密解を示せ。


シンキングタ～イム


さて、どうやって求めましょうかね。

まず、解ることからやってみましょうかね。

正五角形の内角は108˚

どうやって求めるかというと、
三角形の内角の和は180˚なので、これを3つ組み合わせると五角形となる。
つまり、
180×3÷5＝108

正n角形の内角を求めるには、
180(n－2)/n
ということですね。

他にも、いろいろな求め方があります。
イメージとしては、周は360˚でn等分して、二等辺三角形の頂角が求まる。
2底角の和を求めたいので、180˚から引く。
180－360/n
こっちの方が覚えやすいかな。

さて、補助線をどこに引きましょうかね。

CEと、CからEAへの垂線かな。

あんまり引きすぎても、混乱するからこれくらいに留めましょう。

CからEAへの垂線の足をG、これはすなわち、EAの中点である。

正五角形の内角は108˚、この半分は54˚
54˚－45˚＝9˚
ということで、
∠GCF＝9˚
∠CFA＝99˚

二等辺三角形DCEの底角は、
(180˚－108˚)÷2＝36˚
45˚－36˚＝9˚
ということで、
∠FCE＝9˚

などなど、角度は求まっていく。

線分の長さを求めるのだが、昨今槍玉に上げられている三角関数ですね。

線分CE＝yの長さをxを使って表すと、
y＝2x・cos(36˚)＝2x・sin(54˚)
と、とりあえずsinとcosの場合を求めておく。

線分CGの長さをｙを使って表すと、
y・sin(72˚)＝y・cos(18˚)

∠ECGに着目すると、線分CFは角の二等分線なので、
CE：CG＝CF：FG
という角の二等分線の定理が使える。

cosの方が角度が使いやすそうなので、cosを採用する。
CE：CG＝CF：FG
左辺は、
CE：CG＝1：cos(18˚)
よって、右辺も、
CF：FG＝1：cos(18˚)
これより、
x＝2×(1＋cos(18˚))
＝2＋2cos(18˚)

厳密解まで求めてみました。

なんでかというと、三角関数のままではsinでも表せるし、表記揺れが出る。
度数法、弧度法での表記の揺れも考えると、
2＋2cos(18˚)＝2＋2cos(π/10)
2＋2sin(72˚)＝2＋2sin(2π/5)
の他にも、
4cos²(9˚)＝4cos²(π/20)
といったように、いろいろと考えることが出来てしまいます。

出題者側としては、想定される解は用意しておくか、見慣れないものが出てきたら、値を求めてみて、正誤判定するといったことをやらなければなりません。

美しさで語るならば 4cos²(π/20) に軍配が上がるかと思われるますが、皆さんはそこまで辿り着けましたか？


ではでは