半円の折り返し

午後のひとときに、図形問題を自作してみたので、解いてみる。



上図のように半円の弧と弦が接するように折った。
半円の半径は12cm、⊿ABPの面積は108cm²のとき、
⊿PQRの面積を求めよ。


シンキングタ～イム


自作した問題なのだが、最初は折り返して出来る弓形の面積を求めさせる問題だったのだが、求められることは求められるのだが、それはダメだろうとボツにして、⊿PQRの面積にすることにした。
それでも鬼畜なので、自分で解けるのか、今から試してみる。

まず、⊿ABPの面積って、なんで？ってなったかと思う。
辺ABは問題文に示されていて、面積も示されているならば、⊿ABPの高さが容易に求まる。
108×2÷24＝9

点Oを原点として、それぞれの点をxy座標で示してみる。

まずは点Pから
y座標は、先程求めた高さなので9。
原点から垂線の足までの距離は、ピタゴラスの定理より、
√12²－9²＝√144－81＝√63＝3√7
点P＝(－3√7, 9)
と、中学生なら求められたことだろう。

では、点Qはどうやって求めれば良いのだろうか。

もしかしたら、ここが難関に思えるかもしれないし、ここで躓く可能性もある。

補助線を書いても良いのだが、既に一部書かれているので十分かと思う。

折り返した円弧の中心点O'を考えると、折り返した円弧であるから、半径は同じ12cm。
それが、線分AB上で接しているわけなので、折り返した円弧の中心点O'は、常にy＝12の線上に存在する。

つまり、Qのy座標は、12からPのy座標を引いたもの、
12－9＝3
で求まるのである。
先の点Pと同様に、ピタゴラスの定理でx座標を求めると、
√12²－3²＝√144－9＝√135＝3√15
点Q＝(3√15, 9)
となる。

点Rの座標はy座標は0であるが、どのように考えて求めることが出来るのだろうか。

点Pと点Qの中点をMとすると、Mの座標は点P、点Qの座標を足して半分にすればよい。
先の中心座標O'のx座標とRのx座標は同じであるから、
Rのx座標はMのx座標の2倍ということになります。
つまり、半分して2倍するので、いってこいで、点Pと点Qのx座標の和である。
点R＝(－3√7＋3√15, 0)＝(3√15－3√7, 0)

さて、点P、Q、Rの座標は求まりましたが、⊿PQRの面積はどうやって求めましょうか。

ここから各辺の長さを求めて、ヘロンの公式に代入するのは面倒そうです。

点PからABへの垂線の足をP'、点QからABへの垂線の足をQ'として、
台形PP'Q'Qの面積から、⊿PP'R、⊿QQ'Rの面積を引けばよいと考えるに至る。

台形PP'Q'Pの面積は、
(9＋3)×(3√7＋3√15)÷2＝12・3・(√7＋√15)/2
＝18(√7＋√15)

⊿PP'Rの面積は、
9×(3√7＋(3√15－3√7))÷2＝9・3√15/2
＝27√15/2

⊿QQ'Rの面積は、
3×(3√15－(3√15－3√7))÷2＝3・3√7/2
＝9√7/2

よって、⊿PQRの面積は、
18(√7＋√15)－27√15/2－9√7/2
＝9√15/2＋27√7/2
＝(9/2)(√15＋3√7)


問題がボツにならなくて良かったかな。


ではでは