午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
log105＝a
log103＝b
のとき、
log308
をa、bを使って示せ。
シンキングタ～イム
さて、どうしましょうかね。
まずやるとしたら、
| log308＝ | log108 log1030 |
と、底と基数から、分数の形にしましょうかね。
分数にした際の底は何でもいいのですが、今回は題意に沿うために10としましょうか。
続いて、容易に思いつくことは、分母のlog1030の基数を都合の良い積の形にしてみる。
| ＝ | log108 log1030 |
| ＝ | log108 log10(3・10) |
| ＝ | log108 log103＋log1010 |
| ＝ | log108 b＋1 |
と変形出来ました。
さて、分子はどうしましょうかね。
8は2の3乗だからとやってしまうかもしれませんが、log102が示されていないので、それでは上手くいかないでしょう。
ここで、8を都合の良さそうな分数の形にしてみます。
| ＝ | log108 b＋1 |
| ＝ | log10(1000/125) b＋1 |
| ＝ | log101000－log10125 b＋1 |
| ＝ | log10(103)－log10(53) b＋1 |
| ＝ | 3log1010－3log105 b＋1 |
| ＝ | 3－3a b＋1 |
出来ました。
都合の良い積の形は容易に思いつくかとは思いますが、都合の良い分数の形はなかなか思いつかないかもしれませんので、こういう問題に慣れておくのが良いでしょうね。
もし、
| ＝ | log108 b＋1 |
| ＝ | log10(23) b＋1 |
| ＝ | 3log102 b＋1 |
と変形したとしても、2を都合の良い分数の形にすることになりますね。
| ＝ | 3log102 b＋1 |
| ＝ | 3log10(10/5) b＋1 |
| ＝ | 3(log1010－log105) b＋1 |
| ＝ | 3(1－a) b＋1 |
| ＝ | 3－3a b＋1 |
かなりご丁寧に変形していきましたが、実際にはある程度飛ばしても良いかとは思います。
ではでは