いつまで素数が続くのか

午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。

AとBには1桁の数が入り、
AB
AAB
AAAB
AAAAB
…
のように続くとき、
2桁から最大何桁まで素数でいられるか。
A、Bに入る数や桁数を求めよ。


シンキングタ～イム


まず、2桁以上の素数の一の位に着目すると、
1、3、7、9しかありえませんので、Bはこの4つのうちのいずれかとなります。

小さい方から調べてみましょう。

11 素数
111＝3・37 合成数

13 素数
113 素数
1113＝3・7・53 合成数

17 素数
117＝3²・13

19 素数
119＝7・17

21＝3・7 合成数

23 素数
223 素数
2223＝3²・13・19 合成数

27＝3³ 合成数

29 素数
229 素数
2229＝3・743 合成数

31 素数
331 素数
3331 素数
33331 素数
333331 素数
3333331 素数
33333331 素数
333333331＝17・1907843 合成数

おそらく、これが最大だろうという予想します。

33＝3・11 合成数

37 素数
337 素数
3337＝47・71 合成数

39＝3・13 合成数

41 素数

441＝3²・7² 合成数

43 素数
443 素数
4443＝3・1481 合成数

47 素数
447＝3・149 合成数

49＝7² 合成数

51＝3・17 合成数

53 素数
553＝7・79 合成数

57＝3・19 合成数

59 素数

559＝13・43 合成数

61 素数
661 素数
6661 素数
66661＝7・89・107 合成数

63＝3²・7 合成数

67 素数
667＝23・29 合成数

69＝3・23 合成数

71 素数
771＝3・257 合成数

73 素数
773 素数
7773＝3・2591 合成数

77＝7・11 合成数

79 素数
779＝19・41 合成数

81＝3⁴ 合成数

83 素数
883 素数

8883＝3³・7・47 合成数

87＝3・29 合成数

89 素数
889＝7・127 合成数

91＝7・13 合成数

93＝3・31 合成数

97 素数
997 素数

9997＝13・769 合成数

99＝3²・11 合成数

のように全部やって、
A＝3、B＝1で8桁までとしても良いのだが、素数判定は面倒なので、もっと効率よく枝刈りをしたい。

例えば、A＝Bであると、ABは必ず11の倍数となってしまうので、11は良いが、他は合成数となる。111は合成数なので、これも枝刈り出来る。

例えば、B＝3またはB＝9に限定すると、4桁になると必ず3で割り切れ、合成数が確定して、4桁未満となる。といったように、B＝3とB＝9は4桁以上にはなり得ないことが確定するので、大幅な枝刈りが出来る。

そうなると、B＝1とB＝7だけを考えれば良いので、先の方法の半分くらいの計算で終わることだろう。


さて、この問題、10進数でしか考えてないけれども、他の進数ならば8桁を超えるものも見つかるのではなかろうか？

と考えるに至ったわけです。

とりあえず、プログラミングしてみたところ、8桁に到達するものは結構見つかりました。

例えば、38進数で、A＝30₍₁₀₎、B＝31₍₁₀₎

ここで書く(10)は、その前に書かれた数字は10進数ですよということです。
まぁ、面倒なんで、(10)は省きますね。

AB₍₃₈₎＝30・38¹＋31＝1171
AAB₍₃₈₎＝30・38²＋30・38¹＋31＝44491
AAAB₍₃₈₎＝30・38³＋30・38²＋30・38¹＋31＝1690651
…
といったように10進数に変換して、それを素数判定してみます。

1171 素数
44491 素数
1690651 素数
64244731 素数
2441299771 素数
92769391291 素数
3525236869051 素数
133959001023931＝73・127・5407・2672323 合成数

まだ、n進数9桁が64ビットを超えないうちは、C言語のプログラムでも、素数判定は出来るのですが、超えてくると別の方法を考える必要が出てきますね。

例えば、290進数で、A＝42₍₁₀₎、B＝277₍₁₀₎
12457 素数
3544657 素数
1027882657 素数
298085902657 素数
86444911702657 素数
25069024393702657 素数
7270017074173702657 素数

とここまでは、64ビットの範囲でしたので、プログラムで確実に素数であることは確定しました。
しかし、ここからは64ビットを超えるので、フェルマーテストによる判定に切り替えました。

2108304951510373702657 合成数

といったようになります。

多倍長整数を実装して、素数判定していけばいいのだろうけど、実装に時間がかかりそうなので、今回はこの辺で。

さて、n進9桁以上になるようなものは見つかるのだろうか。


ではでは