正三角形の折り返し問題

午後のひとときに、高校レベルであろう図形問題を解いてみる。



正三角形ABCを図のように、頂点Aを辺BC上の点と重なるように折り返したところ、
三角形DBCの面積は100cm²、三角形FECの面積は64cm²であった。
三角形DEFの面積を求めよ。


高校レベルの数学としたのは、私が解いたときに、高校レベルの数学の知識を使ったからに過ぎません。


シンキングタ～イム


まずは、図から解ることを考えてみます。

⊿ABCは正三角形より、3内角はいずれも60˚、
∠DAFを折り返した∠DEFも60˚であり、点Eは線分BC上の点より、
∠BED＋60˚＋∠FEC＝180˚
三角形の内角の和も180˚より、
∠BED＝∠CFE
∠FEC＝∠EDB
となり、
⊿DBC∽⊿ECF
ということが解る。

示された面積に着目すると、
⊿DBC：⊿ECF＝100：64
より、辺の比は平方根となり、
5：4
となる。

ここまでは良いだろうか？



辺の長さが一つも示されていませんので、
出来るだけ少ない変数で表すことを考える。
三角形だからと、3変数で考えると、かなり遠回りすることになるであろう。

求めたい三角形の面積の60˚を挟む辺を、先の辺の比の5：4から、それぞれ、
DE＝DA＝5x
EF＝AF＝4x
として、
BE＝5y
CF＝4y
とすると、
⊿ABCは正三角形より、
CF＋FA＝AD＋DB＝BE＋EC
であるから、
EC＝4x－y
DB＝4y－x
と、それぞれx、yの2変数で示せた。

三角形の面積を求める方法はいろいろとあるが、
今回はいずれも内角60˚を含む三角形であることから、
二辺狭角から求めるのが無難であろう。

求めたい⊿DEFの面積は、

ここで、60˚を挟む辺のxの係数が4で等しい⊿ECFに着目し、余弦定理を適用すると、
(4x)²＝(4x－y)²＋(4y)²－2・(4x－y)・4y・cos(60˚)
16x²＝16x²－8xy＋y²＋16y²－16xy＋4y²
x²が相殺（そうさい）され、
21y²－24xy＝0
3y(7y－8x)＝0
y＞0より、
7y－8x＝0
8x＝7y
と、xとyの比が求まる。

もし、⊿DBEの方でやってしまうと、
(5x)²＝(4y－x)²＋(5y)²－2・(4y－x)・5y・cos(60˚)
25x²＝16y²－8xy＋x²＋25y²－20y²＋5xy
24x²＋3xy－21y²＝0
8x²＋xy－7y²＝0
となって、先のよりちょっと面倒な因数分解が出てきて、
(x＋y)(8x－7y)＝0
となって、
x＋y＞0より、
8x－7y＝0
8x＝7y
と、同様の結果が出せるが、どちらが簡単なのかを瞬時に選べるかというところだろうか。

正三角形ABCの辺の長さは等しいので、どれでも良いのだが、辺CAより、

と1変数で示せました。

ここから正三角形の面積を求めると、

また、別の方法で、それぞれの三角形の面積の和から、
100＋64＋2・5√3x²＝164＋10√3x²

これらを等号で結んで、

900√3x²－49・10√3x²＝164・49
410√3x²＝164・49
左辺を求めたい面積Sにするため、両辺を82で割ると、
5√3x²＝98

答え 98cm²


他にも解法はあるかと思うので、別の解法や、解らない点などがありましたら、コメントにてお待ちしております。


ではでは