見て言って数列

午後のひとときに、クイズで良く出るとされる「見て言って数列/look-and-say sequence」について、書いてみようかと思う。

見て言って数列とはどんな数列かというと、

1
11
21
1211
111221
…
のように続く数列です。

規則性が解りますか？

文字通り、見て、言って、数列なので、
1を見て、1個の1と言う、つまり次の項は11となります。
11を見て、2個の1と言う、つまり次の項は21となります。

このように、見たままを言うことで次の項が出来上がっていく数列なのです。

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211
31131211131221
13211311123113112211
11131221133112132113212221
3113112221232112111312211312113211
1321132132111213122112311311222113111221131221
11131221131211131231121113112221121321132132211331222113112211
…
と続いていくことになります。

問題1
この数列のある項の一部分に4は登場するでしょうか？

問題1の答え
登場しません。
この数列は、個数、数値、個数、数値、…というように交互に並びます。
同じ値が4連続しなければ、4という個数が登場しません。
仮に、個数、数値ともに1だとして、
個数から見始めて、1111となるようなことは、同じ数値が連続しているので矛盾。
数値から見始めて、1111となるようなことも、同じ数値が連続しているので矛盾。
2や3についても同様です。
ということで、4という個数が現れないので、4という数値も現れません。

同様に4以降の数字も登場しません。

つまり、この数列に使われる数字は1、2、3の三種類に限定されます。


問題2
この数列のある項の一部分に333は登場するでしょうか？

問題2の答え
登場しません。
この数列は、個数、数値、個数、数値、…というように交互に並びます。
333が初めて現れるには、
個数から見始めたとして、33となった場合、その前の項で333があることになり矛盾。
数値から見始めたとして、333となった場合、同じ数値が連続しているので矛盾。
よって、ある項の一部分に333が登場することはない。

などなど、いろいろな性質があります。

また、各項の桁数に着目して、桁数の数列を考えると、
1
2
2
4
6
8
10
14
20
26
34
46
62
…
というようになり、前の項の何倍になっているかに着目して、
2.0
1.0
2.0
1.5
1.0
1.333…
1.25
1.3999…
1.4285…
1.3
1.3076…
1.3529…
1.3478…
1.2580…
…
のように続いていき、どうやらこの値は、1.303577…といった値に収束していくようです。

この値をコンウェイ定数と言います。

71次方程式
x⁷¹ －x⁶⁹ －2x⁶⁸ －x⁶⁷ ＋2x⁶⁶ ＋2x⁶⁵ ＋x⁶⁴ －x⁶³ －x⁶² －x⁶¹ －x⁶⁰ －x⁵⁹ ＋2x⁵⁸ ＋5x⁵⁷ ＋3x⁵⁶ －2x⁵⁵ －10x⁵⁴ －3x⁵³ －2x⁵² ＋6x⁵¹ ＋6x⁵⁰ ＋x⁴⁹ ＋9x⁴⁸ －3x⁴⁷ －7x⁴⁶ －8x⁴⁵ －8x⁴⁴ ＋10x⁴³ ＋6x⁴² ＋8x⁴¹ －5x⁴⁰ －12x³⁹ ＋7x³⁸ －7x³⁷ ＋7x³⁶ ＋x³⁵ －3x³⁴ ＋10x³³ ＋x³² －6x³¹ －2x³⁰ －10x²⁹ －3x²⁸ ＋2x²⁷ ＋9x²⁶ －3x²⁵ ＋14x²⁴ －8x²³ －7x²¹ ＋9x²⁰ ＋3x¹⁹ －4x¹⁸ －10x¹⁷ －7x¹⁶ ＋12x¹⁵ ＋7x¹⁴ ＋2x¹³ －12x¹² －4x¹¹ －2x¹⁰ ＋5x⁹ ＋x⁷ －7x⁶ ＋7x⁵ －4x⁴ ＋12x³ －6x² ＋3x －6 ＝0
の最大の実数解とのことです。

なんか途方も無い方程式ですよね。


ではでは