長方形に内接する台形

午後のひとときに、図形問題を解いてみる。


問題



上図のように、長方形ABCDに台形EFGHが内接している。
AH＝6cm、EB＝6cm、FC=10cm、DG=4cm、EH//FG、台形EFGHの面積＝64cm²のとき、
HDの長さを求めよ。


ひさびさの図形問題の出題です。
中学受験問題らしいのですが、小学校の算数の知識だけで解けるのでしょうか。
さて、どうなんでしょうかね。


シンキングタ～イム


では、解いてみましょうか。

まず、ABCDが長方形で、EH//FGなので、⊿AEHと⊿CGFは相似になります。
それは、線分EHと線分FGを伸ばして、＃の字が出来たら、錯角、同位角、対頂角の関係から導くことが出来ますね。

AE：CG＝3：5
外項の積と内項の積は等しいので、
3×CG＝5×AE
CG＝(5/3)×AE

AB＝DCなので、
AE＋6＝CG＋4

これらより、
AE＋6＝(5/3)×AE＋4
6－4＝(5/3)×AE－AE
2＝(2/3)×AE
AE＝3
CG＝5
ということがわかります。


ここまでは、おそらく皆さん導けたのではないでしょうか。

さて、鉄則の補助線を引きましょう。



EG、HFをそれぞれ直線で結び、交点をIとします。
これは鉄則の一つで、接点同士を結ぶということです。


結んでみたものの、ここで手詰まりとなってしまった人もいることでしょう。


⊿IEHと⊿IGFは相似となって、
EH：FG＝3：5より、面積比は、
⊿IHE：⊿IFG＝3×3：5×5＝9：25
ということになります。

続いて、⊿EFHに着目して、底辺をFHとすると、
HI：IF＝3：5
であり、高さは共通であるから、面積比も同様に3：5となり、
面積比において、⊿IHE＝9としているので、
⊿IHE：⊿IEF＝9：15

同様に、⊿HEGに着目して、底辺をEGとすると、
EI：IG＝3：5
であり、高さは共通であるから、面積比は、
⊿IHE：⊿IGH＝9：15

それぞれの面積比を足し合わせると、
9＋15＋15＋25＝64
となり、実際の面積と等しいので、面積比がそのまま面積となります。


さて、ここまでたどり着けた人もいることでしょうが、ここから手詰まりになってしまった人もいることでしょう。

というわけで、新たな補助線を引きます。



長方形AEJH、長方形CGKFを描きます。
これも、補助線の鉄則の一つで、平行線を引いてみるということですね。

⊿JHEの面積は9cm²と⊿IHEと等しく、
底辺がHEで共通なことより、
高さが等しいということとなり、
EH//IJ

同様に、
⊿KFGの面積は25cm²と⊿IFGと等しく、
底辺がFGで共通なことより、
高さが等しいということとなり、
FG//KI

題意の、
EH//FG
より、
Iは線分KJ上の点であり、
EH//FG//KJ
となります。

更に補助線を引いてみます。



J、Kを頂点として、先の長方形の辺と平行に、長方形を描くと、
高さは、
DG－AE＝4－3＝1
となって、幅は、
AE：AH＝3：6＝1：2
CG：CF＝5：10＝1：2
より、2と求まる。

よって、求めたいHDの長さは、
FC－2＝10－2＝8

答え 8cm


いかがでしたでしょうか。

なかなか骨のある問題でしたね。

錯角などは小4、相似や比は6年で習うらしいので、小学生にも解けるということになるのでしょうか。

面積比は小学校ではやらないかもしれないが、比を習っているから、習っていると考えても良いのかな？
まぁ、文字式を習っていないといっても、□とか△を使って同じことをやるので、知識として応用出来るかって話しになるのかな。

大人の人は解けましたか？

数学なんて要らない、算数だけで充分だ！
と言っている賢い大人の人は、当然解けましたよね。


ではでは