午後のひとときに、ジュニア数学オリンピックの問題を解いてみる。
問題
一辺の長さが1の正方形4つからなる図形が、直角二等辺三角形に図のように内接しているとき、その直角二等辺三角形の面積を求めよ。
シンキングタ～イム
久々の図形問題です。
ジュニア数学オリンピックなので、中学生レベルの問題ということでしょうね。
さて、どのように解くのでしょうか。
やはり、ある程度の鉄則はやっておくべきでしょうね。
接点同士を直線で結ぶ。
青い三角形が出来ました。
さて、これで何が解るのでしょうか。
青い三角形の各辺の長さをみてみると、
2つの短辺は、1：2：√5より、√5
長辺は、1：3：√10より、√10
2短辺が同じ長さより二等辺三角形であることが確定し、更に短辺と長辺の比が、√5：√10＝1：√2より、直角二等辺三角形であることが解ります。
これにより、青い三角形の長辺と、元の直角二等辺三角形の垂直線が平行であることが解りました。
また、
緑の三角形のように描けば、緑の三角形も直角二等辺三角形となり、短辺は、√10
である。
元の直角三角形のいずれか1つの一辺の長さが判明すれば、面積は求まるので、底辺の緑の三角形ではない部分の長さをxとして求めてみましょう。
緑で抜かれたピンクの直角三角形の面積は3÷2＝3/2、底辺は√10、高さはxと出来るので、
√10x/2＝3/2
√10x＝3
x＝3/√10
よって、求めたい直角二等辺三角形の短辺の長さは、
√10＋3/√10＝13/√10
これを2乗して2で割ると、
169/20
答え 169/20
答えが有理数になりましたね。
数値が数値だけに、もっと幾何的な解き方がありそうではありますが、そんな解法を見つけましたら、コメントにてお待ちしております。
ではでは