午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
7進数でも11進数でも共に3桁の自然数で、
お互いの桁の前後が逆となる数を、
10進数ですべて求めよ。
シンキングタ～イム
仮に見た目がそれぞれabc、cbaとなっている7進数、11進数ということです。
a・72＋b・71＋c・70＝c・112＋b・111＋a・110
と立式でき、
49a＋7b＋c＝121c＋11b＋a
48a－4b－120c＝0
12a－b－30c＝0
と変形でき、
係数が1のbに着目すると、
b＝12a－30c＝6×(2a－5c)
a、b、cはそれぞれ1桁の自然数より、
bは6の倍数であることは、左辺から自明で、
b＝0または6となり、bで場合分けすると、
b＝0のとき、
2a－5c＝0
2a＝5c
a、cは7進数、11進数の先頭桁になるので、0より大きいので、
a＝5、c＝2
b＝6のとき、
2a－5c＝1
2a＝1＋5c
a＝(1＋5c)/2
より、
1＋5cは偶数で、cは奇数となり、cで場合分けすると、
c＝1のとき、a＝3
c＝3のとき、a＝8
c＝5のとき、a＝13とaが1桁ではなくなるので、以降すべて不適
よって、
502(7)＝205(11)
361(7)＝163(11)
863(7)＝368(11)
と求まった。
検算してみると、
5×49＋0×7＋2＝247
2×121＋0×11＋5＝247
3×49＋6×7＋1＝190
1×121＋6×11＋3＝190
8×49＋6×7＋3＝437
3×121＋6×11＋8＝437
答え 190. 247, 437
ではありません。
863(7)＝368(11)
の左辺の7進数において、8は使えないですよね。
答え 190, 247
理屈さえ解ってれば簡単な問題ですね。
ではでは