午後のひとときに、数学の証明問題を解いてみる。
問題
ある程度十分な広さの床に、同じ大きさの正方形の白タイルと黒タイルでランダムに隙間なく敷き詰めた。
このとき、任意の縦×横＝3×7のタイルのなかに、四隅が同じ色となる縦×横＝2×2以上のタイルで出来た長方形が必ず存在することを証明せよ。
シンキングタ～イム
かなり難しそうな証明問題です。
どんな数学の定理とか理論とかを使って導けばよいのでしょうか。
実は、この問題を解くには、鳩の巣原理を使います。
鳩の巣原理とは、
10個の鳩の巣に11羽の鳩が入ろうとすると、必ず2羽入った巣が1つ以上存在する。
というものです。
当たり前じゃないかと思われるかもしれませんが、今回の問題も鳩の巣原理で解けると書いたように、当たり前じゃないか、と言えますか？
今回の問題、何が鳩の巣で、何が鳩なのかが解らないと、鳩の巣原理を使えないのです。
まず、縦×横＝3×1を小タイルと名付けると、この小タイルは何種類あるか。
色が白と黒の2種類で、3つの連結なので、23＝8種類。
この縦×横＝3×1の小タイルを、横に9列並べると、縦×横＝3×9となる。
8種類の小タイルを鳩の巣、9列を鳩とすると、鳩の巣原理より、9列を8種類で構成すると同じ小タイルが最低でも1種類は2個使うことになり、それが縦×横＝3×9の中に必ず入るので、縦×横＝2×2以上の四隅が長方形の部分が必ず出来る。
Q.E.D.
面白い問題でしたね。
ではでは