昨日の問題の解答編です。
まだ答えをみたくない方は、閉じてください。
上図のように、四分円に2つの半径が同じ小円と、正三角形と、直角二等辺三角形がない説している。
小円の半径を1としたとき、四分円の半径を求めよ。
シンキングタ～イム
補助線は、それぞれの接点と中心を結んでおくことで問題ないでしょう。
小円の半径を1として、四分円の半径を求めるのですが、
さて、まずはどこから手を付けましょうか。
直角二等辺三角形の斜辺の長さが求めてみましょう。
正三角形の内角は60˚より、隣の小円のあるエリアも60˚となって、小円の中心と結ぶと、30˚・60˚・90˚の直角三角形が出来、小円の半径を1としたことから、斜辺は√3。
直角二等辺三角形の直角でない内角は45˚で、外角は180˚－45˚＝135˚。
その半分の135˚/2のcot、もしくは1/tanで、
直角二等辺三角形の斜辺の長さは、
2(√3＋1/tan(135˚/2))＝2(√3＋√2－1)
これを√2で割って、1/tan(135˚/2)を加えれば、
四分円の中心から小円の接点までの距離となり、
(√3＋√2－1)・√2＋√2－1＝√6＋1
小円の半径は1なので、斜辺の長さは三平方の定理より、
√(√6＋1)2＋12＝√8＋2√6
これに小円の半径1を加えれば、四分円の半径となる。
答え √8＋2√6＋1
高校生レベルの問題でしたね。
ではでは