午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
図のように、正方形ABCDの、辺BCを直径として外側、辺ABを直径として内側に向かって半円が接しており、2つの半円の中心M、N、、それぞれの弧上の動点P、Qを結び、
∠CMP＝∠ABQとなるようにP、Qを取り、PQを直線で結んだ。
線分PQとCBとの交点をR、弧ABとの交点をSとしたとき、PR：RS＝1：2であった。
∠BRQ＝θを求めよ。
シンキングタ～イム
この図形問題、いろいろなところに補助線を引いたりしたかもしれませんが、最低限引くとしたらMSだけです。
とは言っても、その補助線の意味を理解するためには、点Sがどういう点なのかということを理解しなければなりません。
∠CMP＝∠ABQ＝αとして、αの取り得る範囲を考えてみると、α≧45˚となると、点Sはなくなるので、0˚＜α＜45˚の範囲に、PR：RS＝1：2になるαが存在することになります。
また、αを0˚から45˚まで変化させても、点Sは動かない、つまりSは不動点であることに気がつく必要があります。
その上で、補助線MSを引いて、MS＝MPであり、RSの中点をTとおいて、補助線MTを引けば、⊿MRTは正三角形のとき、PR：RS＝1：2となることが解ります。
答え θ＝60˚
別解
RSの中点をTとして、補助線MTを引いて、⊿MPT、⊿MRTを考えて、⊿MRTが正三角形のときに、:PR：RS＝1：2となる。
どちらにしても、今回の問題は、解を有名角だと当たりをつけて、いろいろと考えて逆算するとかしないと、なかなか真相にたどり着くのは難しいと思いました。
ではでは