午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
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図のように、四分円に内接する3つの半円がある。
半円A、B、Cの面積比、A：B：Cを求めよ。
シンキングタ～イム
四分円と半円ですが、円の接線の問題には変わりがありませんので、やることは基本的に変わりません。
四分円の半径をr、Aの半径をa、Bの半径をb、Cの半径をcとして、考えてみましょう。
1つずつやっていきます。
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Aの中心とBの中心を結び、Bの中心から垂線を下ろして、直角三角形を作ります。
斜辺の長さは、a＋b
高さは、a－b
三平方の定理より、幅は、
√(a＋b)2－(a－b)2＝√4ab … (1)
とりあえず、これで良いだろう。
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続いて、四分円の中心とBの弦とで出来る直角三角形を考えます。
斜辺の長さは、2a
高さは、2b
三平方の定理より、幅は、
√(2a)2－(2b)2＝√4a2－4b2 … (2)
(1)＝(2)より、
4ab＝4a2－4b2
b2＋ab－a2＝0
| b＝ | －a±√a2＋4a2 2 | ＝ | －a±a√5 2 |
b＞0なので、
a：b＝2：√5－1 … (3)
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最後は、四分円の中心と四分円と半円Cとの接線を引くと、当然Cの中心を通るので、Cの中心から垂線の足を下ろして出来る、直角三角形を考えます。
斜辺は、2a－c
高さは、c
三平方の定理より、幅は、
√(2a－c)2－c2＝√4a2－4ac … (4)
(1)＝(2)＝(4)より、
4ab＝4a2－4ac
a＞0なので、4aで割ると、
b＝a－c
c＝a－b
(3)式より、
a：b：c＝2：√5－1：2－(√5－1)＝2：√5－1：3－√5
今回問うているのは面積比なので、2乗してπ倍して4で割ることになるが、π倍や4で割るのは比なので関係なくなり、それぞれの平方を取ると、
A：B：C＝a2：b2：c2＝4：6－2√5：14－6√5＝2：3－√5：7－3√5
答え A：B：C＝2：3－√5：7－3√5
でも良いのだろうが、ちょっと悩んでいる。
A B | ＝ | 2 3－√5 | ＝ | 2(3＋√5) 9－5 | ＝ | 3＋√5 2 |
B C | ＝ | 3－√5 7－3√5 | ＝ | (3－√5)(7＋3√5) 49－45 | ＝ | 21＋9√5－7√5－15 4 | ＝ | 3＋√5 2 |
という関係性があるのだ。
ならば、Bを基準として考えたほうが良いのだろうかと思えてしまう。
| 答え A：B：C＝ | 3＋√5 2 | ：1： | 2 3＋√5 |
また、解答の揺れの悩みが増えてしまった。
ではでは