午後のひとときに、解けるか解けないか解らない自作問題を出題してみます。
問題
n≧2を満たす自然数nにおいて、n！を素因数分解を考える。
n！の偶数因数の指数が偶数、すべての奇数因数の指数が奇数となる、
nが存在するならば、該当するnを示し、
nが存在しないならば、それを証明せよ。
シンキングタ～イム
まず、解けないにしろ、小さい値で試すということはやっておく。
2！＝2＝21 不適
3！＝6＝21・31 不適
4！＝24＝23・31 不適
5！＝120＝23・31・51 不適
6！＝720＝24・32・51 不適
7！＝5040＝24・32・51・71 不適
8！＝40320＝27・32・51・71 不適
9！＝362880＝27・34・51・71 不適
10！＝3628800＝28・34・52・71 不適
11！＝39916800＝28・34・52・71・111 不適
12！＝479001600＝210・35・52・71・111 不適
13！＝6227020800＝210・35・52・71・111・131 不適
14！＝87178291200＝211・35・52・72・111・131 不適
15！＝1307674368000＝211・36・53・72・111・131 不適
16！＝20922789888000＝215・36・53・72・111・131 不適
17！＝355687428096000＝215・36・53・72・111・131・171 不適
18！＝6402373705728000＝216・38・53・72・111・131・171 不適
19！＝121645100408832000＝216・38・53・72・111・131・171・191 不適
20！＝2432902008176640000＝218・38・54・72・111・131・171・191 不適
21！＝51090942171709440000＝218・39・54・73・111・131・171・191 不適
と、結構大きな値になっても、素因数の1つだけが不適ということが起こっています。
私は、条件を満たすnは存在しないと予想していますが、どうなんでしょうかね。
該当するnが提示出来る方、存在しないことが証明出来る方、いらしゃいましたらコメントお待ちしております。
ではでは