午後のひとときに、調和級数が発散することを証明してみる。
調和級数とは、調和数列の無限和です。
調和数列とは、等差数列の逆数の数列のことです。
∞ Σ k＝1 | 1 k | ＝∞ |
調和級数が無限大に発散することを証明してみましょう。
1 1 | ＋ | 1 2 | ＋ | 1 3 | ＋ | 1 4 | ＋ | 1 5 | ＋ | 1 6 | ＋ | 1 7 | ＋ | 1 8 | ＋ | 1 9 | ＋ | 1 10 | ＋ | 1 11 | ＋ | 1 12 | ＋ | 1 13 | ＋ | 1 14 | ＋ | 1 15 | ＋ | 1 16 | ＋… |
項を1、1、2、4、8、…と初項だけ別にして、残りを2の冪乗個ずつに分けて、便宜上縦に並べる。
| ＝ | 1 1 | |||||||||||||||
| ＋ | 1 2 | |||||||||||||||
| ＋ | 1 3 | ＋ | 1 4 | |||||||||||||
| ＋ | 1 5 | ＋ | 1 6 | ＋ | 1 7 | ＋ | 1 8 | |||||||||
| ＋ | 1 9 | ＋ | 1 10 | ＋ | 1 11 | ＋ | 1 12 | ＋ | 1 13 | ＋ | 1 14 | ＋ | 1 15 | ＋ | 1 16 | |
| … | ||||||||||||||||
分けたものの最右項は、分けたものの中で一番小さいことは自明であり、それを項数の分だけ足したものと比較する。
| ＝ | 1 1 | ＝ | 1 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 2 | ＝ | 1 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 3 | ＋ | 1 4 | ＞ | 1 4 | ＋ | 1 4 | ||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 5 | ＋ | 1 6 | ＋ | 1 7 | ＋ | 1 8 | ＞ | 1 8 | ＋ | 1 8 | ＋ | 1 8 | ＋ | 1 8 | ||||||||||||||||
| ＋ | 1 9 | ＋ | 1 10 | ＋ | 1 11 | ＋ | 1 12 | ＋ | 1 13 | ＋ | 1 14 | ＋ | 1 15 | ＋ | 1 16 | ＞ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 | ＋ | 1 16 |
| … | |||||||||||||||||||||||||||||||
不等式の右辺を計算する。
| ＝ | 1 1 | ＝ | 1 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 2 | ＝ | 1 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 3 | ＋ | 1 4 | ＞ | 2 4 | ＝ | 1 2 | ||||||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 5 | ＋ | 1 6 | ＋ | 1 7 | ＋ | 1 8 | ＞ | 4 8 | ＝ | 1 2 | ||||||||||||||||||||
| ＋ | 1 9 | ＋ | 1 10 | ＋ | 1 11 | ＋ | 1 12 | ＋ | 1 13 | ＋ | 1 14 | ＋ | 1 15 | ＋ | 1 16 | ＞ | 8 16 | ＝ | 1 2 | ||||||||||||
| … | |||||||||||||||||||||||||||||||
不等式の右辺の初項は1だが、他はすべて1/2であり、1/2を無限に足せば、無限大に発散する。
不等式の右辺が無限大に発散しているので、それよりも大きな左辺も無限大に発散する。
故に、調和級数は無限大に発散する。
Q.E.D.
小中学生でも理解出来る証明方法ですので、覚えておいて損はないでしょう。
ではでは