午後のひとときに、対数の連立方程式を解いてみる。
なお、対数表記は、
log10(100)
のように、真数を括弧で括って表記するものとします。
また、底がeの場合は、logではなくlnを使うものとします。
問題
log√x(xy)＝8
| log3 | ⎛ ⎝ | log1/9 | ⎛ ⎝ | x y | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | ＝0 |
シンキングタ～イム
底に√や分数、logが入れ子になっていたりと複雑ですので、
少しずつ式を変形していきましょうか。
| log√x(xy)＝ | ln(xy) ln(√x) | ＝ | ln(xy) ln(x1/2) | ＝ | ln(xy) (1/2)ln(x) | ＝ | 2ln(xy) ln(x) | ＝2logx(xy)＝8 |
logx(xy)＝4
xy＝x4 … (1)
| log3 | ⎛ ⎝ | log1/9 | ⎛ ⎝ | x y | ⎞ ⎠ | ⎞ ⎠ | ＝0 |
| log1/9 | ⎛ ⎝ | x y | ⎞ ⎠ | ＝30＝1 |
x y | ＝ | ⎛ ⎝ | 1 9 | ⎞ ⎠ | 1 | ＝ | 1 9 |
y＝9x … (2)
(2)式を(1)式に代入すると、
x・9x＝x4
x4－9x2＝0 x2(x2－9)＝0
x＝0
x2＝9 ⇒ x＝±3
これらのxを(2)式に代入すると、
x＝0のとき、y＝0
x＝－3のとき、y＝－27
x＝3のとき、y＝27
答え (x, y)＝{ (-3, -27), (0, 0), (3, 27) }
ではありません。
(1)式の元をみると、底は√x、真数はxyです。
底の定義域は1でない正の実数となっています。
真数の定義域も正の実数となっています。
つまり、xy＞0なので、(x, y)＝(0, 0)は解ではありません。
また、底の√の中が負となると、底が複素数となるので、これも定義域から外れますので、(x, y)＝(－3, -27)も解ではありません。
答え (x, y)＝(3, 27)
ではでは