午後のひとときに、タイトルのような問題の類題を作って解いてみる。
問1
1!＋2!＋3!＋…＋n!
が平方数となるすべてのnを求めよ。
問2
0!＋1!＋2!＋…＋n!
が平方数となるすべてのnを求めよ。
シンキングタ～イム
数学屋って、ちょっと数値を変えたりした類題を作っては、自分で解くということをやっている。
しかも、それが必ずしも解けるという保証がないのにです。
問1
1!＝1
2!＝2
3!＝6
4!＝24
5!＝120
6!＝720
7!＝5040
…
と試してみると、5!以降の一の位が0になることが解る。
これは、
5!＝5×4×3×2×1
＝(4×3×1)×(5×2)
＝(4×3×1)×10
ということで、5!以降は常に一の位が0ということが確定するからです。
つまり、総和であっても、5以降は一の位が変化しなくなるということでもあります。
1!＝1 平方数
1＋2!＝3
3＋3!＝9 平方数
9＋4!＝33
33＋5!＝153
153＋6!＝873
873＋7!＝5913
…
というように、5!の一個前の4!を足したときの一の位の3が残るということです。、
方や平方数は、
12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
52＝25
62＝36
72＝49
82＝64
92＝81
102＝100
となって、一の位に着目すると、
1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, …
と循環していることが解り、
一の位に該当するのは、
0, 1, 4, 5, 6, 9
と絞られます。
これより、平方数の一の位が3になることはないので、nは3までを調べれば十分であることが解ります。
よって、
n＝1のとき、3
n＝2のとき、3 不適
n＝3のとき、9
答え n＝1, 3
問2
問1同様に、
0!＝1 平方数
1＋1!＝2
2＋2!＝4 平方数
4＋3!＝10
10＋4!＝34
33＋5!＝154
153＋6!＝874
873＋7!＝5914
…
と、n＝4以降は一の位が4となる。
平方数の一の位の循環に4は含まれており、
先の解法が使えないということになります。
さて、どうしましょうか。
一の位でどうにも出来ないのであれば、十の位までを考えてみましょう。
4＋3!＝10
10＋4!＝34
33＋5!＝154
153＋6!＝874
873＋7!＝5914
5914＋8!＝46234
46234＋9!＝409114
409114＋10!=4037914
4037914＋11!＝43954714
43954714＋12!＝522956314
…
9!を足したところから、下二桁が14に固定されています。
これは、9!の次の10!を足す段階で、
10!＝10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
＝(2×5)×(32)×(23)×(7)×(2×3)×(5)×(22)×(3)×(2)×(1)
＝28×34×52×7
＝(26×34×7)×(22×52)
＝(26×34×7)×100
と100の倍数になって、常に下2桁が00ということによるものです。
これより、下2桁はn＝9以降は14に固定される。
また、それ以前であっても、十の位は1, 3, 5, 7, 9と奇数しか現れていない。
方や、n2の一の位が4になるには、
(10m＋2)2＝100m2＋40m＋4＝m2×100＋4m×10＋4
(10m＋8)2＝100m2＋160m＋64＝100m2＋100m＋60m＋60＋4
＝(m＋1)×m×100＋(m＋1)×6×10＋4
と、nの一の位は2か8に限られ、
その際、十の位は必ず偶数となり、n＝3以降の十の位は常に奇数なので、n＝2までを調べれば十分である。
n＝0のとき、1
n＝1のとき、2 不適
n＝2のとき、4
答え n＝0, 2
問2は問1を踏まえた上で、多少問題が難しくなるが、それでも範囲が絞られましたね。
例えば、n!から(n＋m)!までの総和が平方数といったことにしたら、解はどれくらい見つかるのだろうか、
立法数ならどうだろうか、
などなど、数学屋の興味は続くのであった。
ではでは