午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
図のように、正方形ABCDがあり、AD上の点Eを取り、Ｃと結ぶ。
EF＝7cm、FC＝13cmとなる点Fから垂直に辺AB側に4cmの点をGとして、
A、Bとそれぞれ結ぶと、AG＝BGとなった。
AGの長さを求めよ。
シンキングタ～イム
さて、皆さんはどこに補助線を引きましたか？
GEとか、GCとか結びたくなったのではないでしょうか？
これらの補助線は、ピタゴラスの定理より安易に長さを求められるのですが、今回の問題を解くのには全く役に立たないは言いすぎかもしれませんが、その斜辺を使わずに解けます。
どこに引くかというと、
Ｇを通り、BCやADに平行な線です。
GからCDへの垂線の足でもいけますが、まぁ、全部引いちゃいましょう。
ABへの足をH、CDへの足をI、CEとの交点をJとしておきます。
まず、着目すべきは、三角形JFGと三角形JICが相似であることです。
Jは2直線の交点で、角Fと角Iがともに直角ということで、2角が等しい三角形なので、相似ですね。
相似となったら、比を知りたいですね。
次に着目するのは、線分ECです。
点Jは線分ECの中点より、
EJ＝JC＝(7＋13)÷2＝10cm
これより、
FJ＝3cm
ピタゴラスの定理より、
GJ＝5cm
相似より、
JI＝6cm、IC＝8cm
よって、正方形ABCDの1辺の長さは線分ICの倍の16cm。
すると、
GH＝16－6－5＝5cm
となり、
ピタゴラスの定理より、
AG＝√82＋52＝√89
答え √89cm
いかがだったでしょうか。
中学生レベルの問題でしたね。
小学生ならば、正方形の辺の長さまでは求められますね。
ではでは